به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

در بخش قبل نشان دادیم که تابع با ضابطه به ازای هر عدد واقع در بازه باز پیوسته است. به دلیل این واقعیت گوییم که تابع روی بازه باز پیوسته است. تعریف کلی پیوستگی روی یک بازه به صورت زیر است

تعریف1 : گفته میشود که تابعی روی یک بازه باز پیوسته است اگر و تنها اگر آن تابع به ازای هرعدد واقع در آن بازه باز پیوسته باشد.

مثال1 : تابع روی کدام بازه باز پیوسته است؟
حل: تابع به ازای هر عدد بجز 3 پیوسته است. پس بنا به تعریف روی هر بازه بازی که شامل عدد 3 نباشد پیوسته است. دوباره به تابع با ضابطه مراجعه میکنیم می دانیم که روی بازه باز پیوسته است . ولی چون روی هیچ بازه بازی که شامل یا 4 باشد تعریف نشده است در مورد یا نمی توان چیزی گفت از اینرو برای بحث در مساله پیوستگی روی بازه بسته باید مفهوم پیوستگی را گسترش دهیم تا پیوستگی در انتهای یک بازه بسته را در بر گیرد. برای این کار ابتدا پیوستگی از طرفین را تعریف می کنیم.

تعریف2 : گفته میشود که تابع از طرف راست در عدد پیوسته است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشد.
1 - مقدار وجود داشته باشد.

2 – حد جود داشته باشد.

3 –

تعریف3 : گفته می شود که تابع از طرف چپ در عدد پیوسته است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشد.

1 - مقدار وجود داشته باشد.

2 – حد وجود داشته باشد.

3 –

تعریف 4 : چنانچه قلمرو تابعی شامل بازه بسته باشد. که آن تابع روی پیوسته است, اگر و تنها اگر روی بازه باز پیوسته باشد و همچنین از طرف راست در و از طرف چپ در پیوسته باشد.

مثال 2 : اگر داشته باشیم در مورد پیوستگی تابع بحث کنید.
حل: شکل زیر نمودار را نشان میدهد.

فرض کنید عددی در بازه باشد. در اینصورت , و در نتیجه . از اینرو اگر بنابراین روی بازه (1,2] پیوسته است.

بنابراین از طرف راست در 1 پیوسته است اما داریم

و چون , پس از طرف چپ در 2 پیوسته نیست. بنابراین , تابع روزی بازه نیمه باز از طرف راست پیوسته است. به طور مشابه دیده میشود که در هر عدد که پیوسته است . در 2 , از طرف راست پیوسته است زیرا , ولی از طرف چپ در 3 پیوسته نیست زیرا و . از اینرو روی بازه نیز پیوسته است. اکنون قضیه مهمی را در بازه تابعی که روی یک بازه بسته پیوسته است , مورد بحث قرار میدهیم. این قضیه مقدار میانی نامیده می شود و در بخشهای بعدی مورد نیاز است.

قضیه مقدار میانی: اگر تابع روی بازه بسته پیوسته باشد و اگر , آنگاه به ازای هر عدد بین و , عددی مانند بین و وجود دارد به طوری که .
در شکل زیر نقطه ای دلخواه روی محور ها بین نقاط و است. قضیه میگوید که خط باید منحنی به معادله را در نقطه قطع کند, که بین و واقع است. شکل زیر این تقاطع را نشان میدهد.

دقت کنید که ممکن است به ازای بعضی از مقادیر بیش از یک مقدار وجود داشته باشد. قضیه میگوید که همیشه, حداقل یک مقدار برای وجود دارد ولی این مقدار, لزوما یکتا نیست. شکل زیر, سه مقدار ممکن به ازای یک مقدار خاص را نشان می دهد.

قضیه میگوید که اگر تابع روی یک بازه بسته پیوسته باشد, آنگاه وقتی همه مقادیر بین و را اختیار میکند, هرمقدار بین و را به خود میگیرد. در نمونه زیر, اهمیت پیوستگی روی نشان داده میشود.

مثال 3 : فرض کنید تابع به صورت زیر تعریف شده باشد:

نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

تابع در 4, که در بازه بسته قرار دارد, ناپیوسته است, و . اگر عدد دلخواهی بین و 2 باشد , هیچ مقداری از بین 2 و 5 وجود ندارد که . بخصوص , اگر , آنگاه , ولی 6 در بازه قرار ندارند.

مثال 4: اگر

نمودار تابع را رسم کنید. تابع در چه مقادیری از ناپیوسته است.
حل: و اگر باشد فرد است.

اگر باشد فرد می باشد لذا

اگر باشد که فرد می باشد پس

اگر باشد و فرد می باشد و داریم

شکل تابع به صورت زیر است