به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

تعريف 1 : فرض كنيد تابعي باشد كه در تمام نقاط يك بازه باز مانند كه شامل عدد ، بجز احتمالا درخود تعريف بشود . حد وقتي به سمت ميل ميكند برابر است و مي نويسيم :

اگر به ازاي هر هرقدر كوچك ،عدد مثبتي چون وجود داشته باشد كه :

تعريف 2 : حاكي است كه وقتي به سمت عددي مانند ميل كند مقادير به سمت حدي چون ميل ميكند اگر با انتخاب  به اندازه كافي نزديك به ، با شرط بتوان قدر مطلق اختلاف بين و را به قدر دلخواه كوچك كرد .
توجه به اين نكته مهم است كه در تعريف فوق از مقدار تابع براي چيزي گفته نشده است يعني براي وجود حتي لازم نيست كه تابع براي تعريف بشود .
يك تعبير هندسي تعريف تعریف حد تابع , براي تابعي چون در شكل فوق نمايش داده شده است . تنها بخشي از نمودار تابع كه نزديك نقطه به طول است درشكل نشان داده شده است چون لزوما در تعريف نمي شود نقطه اي بطول روي نمودار وجود ندارد. مشاهده كنيد كه وقتي روي محور افقي بين و قرار داشته باشد ، روي محور قائم بين و واقع مي شود . بعبارت ديگر ، با محدود كردن روي محور افقي بين و ميتوان را روي محور قائم بين , محدود كرد بنابراين :

مثال 1
فرض كنيد تابع به معادله تعريف شده باشد . اگر

مقدار را براي پيداكنيد بطوري كه

حل :

با فرض داريم :

در اين مثال بعنوان مورد نظر ، مي توانيم بجاي هر عدد مثبت كوچكتر از را هم انتخاب كنيم يعني اگر و عبارت برقرار باشد ، آنگاه وقتي كه زيرا اگر درنامساوي  صدق كند ، آنگاه در نامساوي نيز صدق ميكند .

مثال 2 :
با استفاده از تعريف 1 ثابت كنيد كه

حل :
نخستين شرط تعريف اين است كه به ازاي هر عدد متعلق به يك بازه باز كه شامل  باشد   ، بجز احتمالا ,  معين باشد چون  به ازاي همه مقادير  معين است ، هر بازه باز شامل  اين شرط را برآورده ميكند . حال بايد نشان دهيم كه به ازاي هر  يك  كه وقتي
ازمثال 1 مي بينيم كه بنابراين مي خواهيم وقتي كه يا وقتي كه     لذا اگر فرض كنيم  داريم به عبارت ديگر ، وقتي كه وقتي كه كه از آن نتيجه ميشود با اين شرط كه  و اين ثابت ميكند كه

مثال 3
: با استفاده از تعريف حد ثابت كنيد كه

حل :
چون به ازاي هر مقدار از  ،  معين است ، هر بازه باز شامل 2 نخستين شرط تعريف 1 – 4 را برآورده ميكند . بايد نشان دهيم كه براي هر  يك  وجود دارد كه
(6)

(7)

چون ميخواهيم به ازاي تمام مقادير  در بازه  مورد نياز در تعريف 1 – 4 ، داشته باشيم  يك بازه باز خاص براي  اختيار ميكنيم و با كمك آن يك كران پائين براي به دست ميآوريم . اگر  باشد كه مركزش 2 و شعاعش 1 است ، آنگاه به ازاي هر بعلاوه به ازاي هر پس به ازاي مقادير  در  كران پائيني براي  است ، در نتيجه از اين كران پائين شعاع بازه  ، كوچكترين را بعنوان  اختيار ميكنيم يعني را كوچكترين  و 1 درنظر ميگيريم و مي نويسيم پس
(8)       

به شرطي كه
 ، از عبارت (8) نتيجه مي شودكه به ازاي اين مقدار از ،عبارت (7) و عبارت معادل آن (6) برقرارند . براي اينكه اهميت را نشان دهيم چند مقدارممكن براي  را در نظر ميگيريم   . اگر  يعني اگر  يعني  مي نويسيم  .   آنگاه وقتي كه  پس به ازاي هر  وقتي كه  و  عبارت  ايجاب ميكند كه و .  معادل است با عبارت
 بنابراين تعريف 1 – 4        برقرار است    .
قضيه زير نشان مي دهدكه يك تابع نمي تواند در يك زمان به سمت دو حد مختلف ميل كند . اين قضيه را قضيه يكتائي مي ناميم زيرا تضمين ميكندكه اگر يك تابع حد داشته باشد ، آن حد يكتااست .