به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

مختصری در مورد حد تابع

تعريف 1 : فرض كنيد img تابعي باشد كه در تمام نقاط يك بازه باز مانند img كه شامل عدد img ، بجز احتمالا درخود ، تعريف بشود . حد img وقتي img به سمت img ميل ميكند برابر img است و مي نويسيم :
img
اگر به ازاي هر img هرقدر كوچك ،عدد مثبتي چون img وجود داشته باشد كه :

img

تعريف 2 : حاكي است كه وقتي img به سمت عددي مانند img ميل كند مقادير img به سمت حدي چون img ميل ميكند اگر با انتخاب img  به اندازه كافي نزديك به img ، با شرط img بتوان قدر مطلق اختلاف بين img و img را به قدر دلخواه كوچك كرد .
توجه به اين نكته مهم است كه در تعريف فوق از مقدار تابع img براي img چيزي گفته نشده است يعني براي وجود img حتي لازم نيست كه تابع براي img تعريف بشود .
يك تعبير هندسي تعريف 4 - 1 براي تابعي چون img در شكل فوق نمايش داده شده است . تنها بخشي از نمودار تابع كه نزديك نقطه به طول img است درشكل نشان داده شده است چون img لزوما در img تعريف نمي شود نقطه اي بطول img روي نمودار وجود ندارد. مشاهده كنيد كه وقتي img روي محور افقي بين img و img قرار داشته باشد ، img روي محور قائم بين img و img واقع مي شود . بعبارت ديگر ، با محدود كردن img روي محور افقي بين img و img ميتوان img را روي محور قائم بين img , img محدود كرد بنابراين : img
مثال 1 : فرض كنيد تابع img به معادله img تعريف شده باشد . اگر
img
مقدار img را براي img پيداكنيد بطوري كه :
img
حل :
img
با فرض img داريم :
img
در اين مثال بعنوان img مورد نظر ، مي توانيم بجاي img هر عدد مثبت كوچكتر از img را هم انتخاب كنيم يعني اگر img و عبارت img برقرار باشد ، آنگاه وقتي كه img زيرا اگر img درنامساوي img  صدق كند ، آنگاه در نامساوي img نيز صدق ميكند .
مثال 2 :
با استفاده از تعريف 1 ثابت كنيد كه
img
حل : نخستين شرط تعريف اين است كه به ازاي هر عدد متعلق به يك بازه باز كه شامل img  باشد   ، بجز احتمالا img . img  معين باشد چون img  به ازاي همه مقادير img  معين است ، هر بازه باز شامل img  اين شرط را برآورده ميكند . حال بايد نشان دهيم كه به ازاي هر img  يك img  كه وقتي img ازمثال 1 مي بينيم كه img بنابراين مي خواهيم وقتي كه img يا وقتي كه     img لذا اگر فرض كنيم img  داريم img به عبارت ديگر ، وقتي كه img وقتي كه img كه از آن نتيجه ميشود img با اين شرط كه img  و اين ثابت ميكند كه
img
مثال 3
: با استفاده از تعريف 1 – 4 ثابت كنيد كه
img
حل :
چون به ازاي هر مقدار از img  ، img  معين است ، هر بازه باز شامل 2 نخستين شرط تعريف 1 – 4 را برآورده ميكند . بايد نشان دهيم كه براي هر img  يك img  وجود دارد كه
(6)
img
img
(7)
img
چون ميخواهيم به ازاي تمام مقادير img  در بازه img  مورد نياز در تعريف 1 – 4 ، داشته باشيم img  يك بازه باز خاص براي img  اختيار ميكنيم و با كمك آن يك كران پائين براي img به دست ميآوريم . اگر img  باشد كه مركزش 2 و شعاعش 1 است ، آنگاه به ازاي به ازاي هر img بعلاوه به ازاي هر img پس به ازاي مقادير img  در img  كران پائيني براي img  است ، در نتيجه از اين كران پائين شعاع بازه img  ، كوچكترين را بعنوان img  اختيار ميكنيم يعني img را كوچكترين img  و 1 درنظر ميگيريم و مي نويسيم img پس
(8)       
img
به شرطي كه img
 ، از عبارت (8) نتيجه مي شودكه به ازاي اين مقدار از img ،عبارت (7) و عبارت معادل آن (6) برقرارند . براي اينكه اهميت img را نشان دهيم چند مقدارممكن براي img  را در نظر ميگيريم   . اگر img  يعني اگر img  يعني img  مي نويسيم img  .   آنگاه وقتي كه img  پس به ازاي هر img  وقتي كه img  و img  عبارت img  ايجاب ميكند كه img و img . img  معادل است با عبارت img
 بنابراين تعريف 1 – 4        برقرار است   img  . قضيه زير نشان مي دهدكه يك تابع نمي تواند در يك زمان به سمت دو حد مختلف ميل كند . اين قضيه را قضيه يكتائي مي ناميم زيرا تضمين ميكندكه اگر يك تابع حد داشته باشد ، آن حد يكتااست .
img
تمرين : در تمرينهاي زير img   داده شده اند وبراي img  مفروض ز ماني كه img عددي مانند img  وجود دارد به شرطي كه img

1. img
2. img
3. img
4. img
5. img
در تمرينات زير با استفاده از تعريف حد به ازاي هر img يك img   پيدا كنيد كه داشته باشيم img
6. img
7. img
8. img
9. img
10. img


advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید

نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است