فرض كنيد تابع f بصورت زير تعريف شده باشد
نمودار اين تابع در شكل
زير رسم شده است .
براي
اينكه نشان دهيم وقتي
با مقادير بزرگتر از 2
به 2 نزديك مي شود
،
به طور بيكران افزايش مي
يابد پس می نویسیم
حال
را از سمت چپ به 2 ميل ميدهيم و بررسي
ميكنيم كه وقتي
با مقادير کمتر
از 2 به 2 نزديك و نزدیکتر مي شود
،
به طور بيكران افزايش مي يابد پس
بنابراين وقتي
از سمت راست يا از سمت چپ به 2 نزديك
ميشود
بطور بيكران افزايش مييابد و لذا
مينويسيم :
فرض كنيد تابع به ازاي هر عدد واقع دريك بازه باز چون كه شامل عددي مانند است بجز احتمالا در خود عدد تعريف شده باشد . وقتي به سمت ميل كند ، به طور بيكران افزايش مي يابد و مينويسيم :
هرگاه براي هر
، يك
وجود داشته باشد كه وقتي ،
راه ديگر بيان تعريف فوق به شرح زير است
وقتي
به سمت عددي چون
ميل ميكند
به طور بيكران افزايش مي يابد ،
هرگاه به ازاي تمام
هائي كه به اندازه كافي نزديك به
باشند و مساوي با
نباشند
، بتوانيم
را به اندازه دلخواه بزرگ كنيم ( يعني
انرا از هر عدد مثبت بزرگتر سازيم ) .
توجه : دوباره تاكيد ميكنيم,
یک عدد حقيقي نيست .
بنابراين وقتي مينويسيم
، معني آن مثل
نيست كه در آن
يك عدد حقيقي است.
معادله (1) را مي توان چنين خواند . حد وقتي به سمت ميل ميكند بينهايت است . در اين مورد حد وجود ندارد . اما نماد رفتار مقادير تابع را وقتي به نزديك ميشود ، مشخص نمايد . به طريق مشابه ميتوانيم رفتار تابعي را كه مقادير آن به طور بيكران افزايش مي يابد را مشخص كنيم . براي اينكه به اين مطلب هدايت شويم ، تابع را كه بصورت زير تعريف ميشود در نظر ميگيريم
نمودار اين تابع در شكل زير رسم شده است .
مقادير تابع
كه از
بدست مي ايند قرينه تابع
است كه از تابع
بدست ميايد . پس وقتي
چه از سمت راست و چه از سمت چپ
به 2 ميل كند
بطور بيكران كاهش ميابد بنابراين
مينويسيم :
تعريف 2: تابع
به ازاي هر عدد واقع در بازه بازي
مانند
كه شامل
مي باشد بجز احتمالا در خود
تعريف شده باشد . وقتي
به سمت
ميل كند
بطور بيكران كاهش مي يابد و مي
نويسيم :
هرگاه براي هرعدد
يك
وجود داشته باشد كه وقتي
توجه : معادله (2) را ميتوان
چنين خواند ، حد
را وقتي
به سمت
ميل مي كند بينهايت منفي است . بازهم
مشاهده ميكنيد كه حد وجود ندارد و نماد
رفتار تابع را وقتي
به
نزديك مي شود نشان مي دهد . مي توان
حد هاي يكطرفه اي را كه بينهايت باشد نيز درنظر بگيريم به ويژه داريم
اگر
براي تمام اعداد در بازه بازي چون
تعريف شده باشد و اگر
براي هر
يك
وجود داشته باشد كه
به طريق مشابه مي توان حد هاي زير را هم تعريف نمود :
حال فرض كنيد
تابعي است
كه به صورت زير تعريف مي شود :
شكل زير نمودار اين تابع را نشان مي دهد:
با
مراجعه به شكلهاي قبل تفاوت بين رفتار تابع رسم شده در شكل زير و توابع مربوط به
دو شكل ديگر را مورد توجه قرار مي دهيم . مشاهده مي كنيد كه
يعني در مورد تابع 3 وقتي با
مقادير كمتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران کاهش پيدا ميكند
و وقتي با مقادير بيشتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران افزايش
پيدا ميكند
قبل
از آوردن چند مثال
، به دو قضيه حدي در مورد حدهاي بينهايت نيازمنديم
قضيه حدي 14 : اگر
يك عدد
صحيح مثبت باشد ، انگاه
نمونه 1 : از قضيه حدي 14
نتيجه مي شود كه
و از قضيه حدي 14
نتيجه مي شود كه
قضيه حدي 15 : فرض كنيد
يك عدد حقيقي دلخواه
و
يك عدد ثابت ناصفر باشد ، آنگاه
1 -
اگر
و اگر از طريق مقادير مثبت
،
، داريم
2 -
اگر
و اگر از طريق مقادير منفي
,
، داريم
3 -
اگر
و اگر از طريق مقادير مثبت
،
، داريم
4 -
اگر
و اگر از طريق مقادير منفي
،
، داريم
اگر
بجاي
قرار دهيم
يا
اين قضيه بازهم برقرار است .
الف : براي محاسبه در اينجا از طريق مقادير مثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه و لذا اگر قضيه حدي 12-1 رابكار ببريم داريم
ب :
براي محاسبه
در اينجا
از طريق مقادير منفي
به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه
و
لذا
اگر قضيه حدي
12-2
رابكار ببريم داريم
ج :
براي محاسبه
در اينجا
از طريق مقادير مثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه
ميكنيد كه
و
لذا
اگر قضيه حدي
12-3
رابكار ببريم داريم
د :
براي محاسبه
در اينجا
از طريق مقادير منفي
به صفر ميل ميكند
ملاحظه ميكنيد كه
و
لذا اگر قضيه حدي
12-4
رابكار ببريم داريم
مثال 14 : مطلوب
است :
الف :
ب :
حل :
الف :
به آساني ثابت ميشود حد صورت برابر 14 است . در اين معادله حد مخرج برابر صفر است و مخرج با مقادير مثبت به صفر ميل ميكند و بنا بر قضيه حدي 12-1 حد تابع برابر است با
(ب) :
در اين حالت حد مخرج صفر است و مخرج با مقادير منفي
به 0 ميل ميكنيد بنابراين با توجه به قضيه حدي
12-3
داريم
مثال 15 : مطلوب است
حل :
داريم
بنابراين نتيجه ميگيريم
علاوه براين داريم
و
از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكند . پس بنا
به قضيه
12-4
حدي داريم :
يادآوري ميكنيم كه چون
و
عدد نيستند ؛ قضاياي حدي ، براي حدهاي بینهايت
اعتبار ندارند . با اين وجود در مورد اين حدها ويژگيهاي زير برقرارند . اثبات آنها
براي تمرين واگذار ميشوند .
قضيه 16 : اگر
,
و
c
که
عدد دلخواه باشد انگاه
اگر
,
و c
عدد دلخواه باشد انگاه
اگر بجای
قرار دهیم
یا
این قضیه
همچنان معتبر است
نمونه 3 : چون
و
پس از قضیه های فوق
(i)
نتیجه می
شود که
قضیه 17 : اگر
,
و a
یک عدد ثابت مخالف با
0
باشد , انگاه
اگر
اگر
این قضیه برقرار است اگر بجای
بنویسیم
یا
قضیه 18 : اگر
,
و
c
یک عدد ثابت مخالف با صفر باشد انگاه
اگر
اگر
این قضیه همچنان برقرار است اگر به
جای
بنویسیم
یا
.
تعریف 3: خط
را یک مجانب قائم نمودار
مینامند هرگاه دست کم یکی از
عبارتهای زیر درست شود باشد :
(I) اگر
(II) اگر
(III) اگر
(IV) اگر
مثال 16 : مجانب قائم نمودار تابع تعریف شده توسط
معادله
را بیابید و نمودار
را رسم کنید
.
حل :
از تعریف نتیجه می شود که خط
یک مجانب قائم نمودار
است نمودار
در شکل زیر نشان داده شده است .
در تمرینهای زیر حد های خواسته شده
را محاسبه کنید .
در تمرینات زیر مجانب نمودار تابع را
بیابید و نمودار آن را رسم کنید .