به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

حد بينهايت

فرض كنيد تابعي بصورت زير تعريف شده است
img
 نمودار اين تابع در شكل زير رسم شده است .
img
براي اينكه نشان دهيم وقتي img  با مقادير بزرگتر از 2 به 2 نزديك مي شود ، img  به طور بيكران افزايش مي يابد پس می نویسیم
img
حال img  را از سمت چپ به 2 ميل ميدهيم بررسي ميكنيم كه وقتي img  با مقادير کمتر از 2 به 2 نزديك و نزدیکتر مي شود ، img  به طور بيكران افزايش مي يابد پس
img
بنابراين وقتي img  از سمت راست يا از سمت چپ به 2 نزديك ميشود img  بطور بيكران افزايش مييابد و لذا مينويسيم :
img
تعريف 5 – 4 : فرض كنيد تابع img  به ازاي هر عدد واقع دريك بازه باز چون img  كه  شامل عددي مانند img  است بجز احتمالا در خود عدد img  تعريف شده باشد .   وقتي img  به سمت img  ميل كند ، img  به طور بيكران افزايش مي يابد و مينويسيم :
(1) img
هرگاه براي هر img  ، يك img  وجود داشته باشد كه وقتي ، img راه ديگر بيان تعريف فوق به شرح زير است وقتي img  به سمت عددي چون img  ميل ميكند img  به طور بيكران افزايش مي يابد ،   هرگاه به ازاي تمام img  هائي كه به اندازه كافي نزديك به img  باشند و مساوي با img  نباشند   ، بتوانيم img  را به اندازه دلخواه بزرگ كنيم ( يعني انرا از هر عدد مثبت بزرگتر سازيم ) .
توجه : دوباره همچون بخش 1 – 1 تاكيد ميكنيم كه img یک عدد حقيقي نيست . بنابراين وقتي مينويسيم
img
 ، معني آن مثل
img
 نيست كه در آن img يك عدد حقيقي است . معادله (1) را مي توان چنين خواند . حد img  وقتي  img  به سمت img  ميل ميكند بينهايت است . در اين مورد حد وجود ندارد . اما نماد img  رفتار مقادير تابع را وقتي img  به img  نزديك ميشود ، مشخص نمايد .   . به طريق مشابه ميتوانيم رفتار تابعي را كه مقادير آن به طور بيكران افزايش مييابند را مشخص كنيم . براي اينكه به اين مطلب هدايت شويم ، تابع img  را كه بصورت زير تعريف ميشود در نظر ميگيريم
img
نمودار اين تابع در شكل زير رسم شده است .
img
براي اينكه به اين تابع هدايت شويم ، تابع img  كه بصورت زير تعريف مي شود را درنظر ميگيريم
img
مقادير تابع img  كه از
img
 بدست مي ايند قرينه تابع img  است كه از تابع
img
 بدست ميايد . پس وقتي img  چه از سمت راست و چه از سمت چپ   به 2 ميل كند img  بطور بيكران كاهش ميابد بنابراين مينويسيم :
img

تعريف 6 – 4 : تابع img   به ازاي هر عدد واقع در بازه بازي مانند img  كه شامل img  مي باشد بجزط احتمالا در خود img  تعريف شده باشد . وقتي img  به سمت img  ميل كند img   بطور بيكران كاهش مي يابد و مي نويسيم :
(2) img
هرگاه براي هرعدد img  يك img  وجود داشته باشد كه وقتي img
توجه : معادله (2) را ميتوان چنين خواند ، حد img  را وقتي img   به سمت img   ميل مي كند بينهايت منفي است . بازهم مشاهده ميكنيد كه حد وجود ندارد و نماد img   رفتار تابع را وقتي img  به img   نزديك مي شود نشان مي دهد . مي توان حد هاي يكطرفه اي را كه بينهايت باشد نيز درنظر بگيريم به وي‍‍ژه داريم
img
اگر img براي تمام اعداد در بازه بازي چون img  تعريف شده باشد و اگر براي هر img  يك img  وجود داشته باشد كه img به طريق مشابه مي توان حد هاي زير را هم تعريف نمود :
img
حال فرض كنيد img  تابعي است  كه به صورت زير تعريف مي شود :
img
(3) شكل زير نمودار اين تابع را نشان مي دهد . با مراجعه به شكلهاي قبل تفاوت بين رفتار تابع رسم شده در شكل زير و توابع مربوط به دو شكل ديگر را مورد توجه قرار مي دهيم . مشاهده مي كنيد كه img
يعني در مورد تابع 3 وقتي با مقادير كمتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران افزايش پيدا ميكند و وقتي با مقادير بيشتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران افزايش پيدا ميكند img قبل از آوردن چند مثال ، به دو قضيه حدي در مورد حدهاي بينهايت نيازمنديم
قضيه حدي 14 : اگر img  يك  عدد صحيح مثبت باشد ، انگاه
img
نمونه 1 : از قضيه حدي 14 img نتيجه مي شود كه
img
و از قضيه حدي 14 img نتيجه مي شود كه
img
قضيه حدي 15 : فرض كنيد
img  يك عدد حقيقي دلخواه
img
و img يك عدد ثابت ناصفر باشد ، آنگاه img  اگر img  و اگر از طريق مقادير مثبت img  ، img  ، داريم
img
img  اگر img  و اگر از طريق مقادير م نفي img , img  ، داريم
img
img  اگر img  و اگر از طريق مقادير مثبت img ،img ، داريم
img
img  اگر img  و اگر از طريق مقادير م نفي img ، img ، داريم
img
اگر بجاي img  قرار دهيم img  يا img  اين قضيه بازهم برقرار است .
نمونه 2 : الف : براي محاسبه
img
د ر اينجا img  از طريق مقادير م ثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه
img
و
img
لذا اگر قضيه حدي img  رابكار ببريم داريم
img
ب : براي محاسبه
img
در اينجا img  از طريق مقادير م نفي به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه
img
و
img
لذا اگر قضيه حدي img  رابكار ببريم داريم img
ج : براي محاسبه
img
در اينجا img  از طريق مقادير مثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه
img
و
img
لذا اگر قضيه حدي img  رابكار ببريم داريم
img
د : براي محاسبه img در اينجا img  از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكن د ملاحظه ميكنيد كه
img
و
img
 لذا اگر قضيه حدي img  رابكار ببريم داريم
img
مثال 14  : مطلوب است :
الف : img
ب : img
حل :
الف : img
به آساني ثابت ميشود حد صورت برابر 14 است . در اين معادله حد مخرج برابر صفر است و مخرج با مقادير مثبت به صفر ميل ميكند و بنا بر قضيه حدي img  حد تابع برابر است با img
(ب) : img
در اين حالت حد مخرج صفر است و مخرج با مقادير منفي به 0 ميل ميكنيد بنابراين با توجه به قضيه حدي img  داريم
img
مثال 15 : مطلوب است img
حل : داريم
img
بنابراين نتيجه ميگيريم
img
علاوه براين داريم
img
و img   از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكند . پس بنا به قضيه img  حدي داريم :
img
img
يادآوري ميكنيم كه چون img  و img   عدد نيستند ؛ قضاياي حدي ، براي حد هاي بینهايت اعتبار ندارند . با اين وجود در مورد اين حدها ويژگيهاي زير برقرارند . اثبات آنها براي تمرين واگذار ميشوند .
قضيه 16 : اگر
img
 ,
img
و c که عدد دلخواه باشد انگاه img
اگر
img  , img و c عدد دلخواه باشد انگاه
img
اگر بجای img     قرار دهیم img    یا   img      این قضیه همچنان معتبر است
نمونه 3 : چون 
img
      و  
img   پس از قضیه های فوق    (i)   نتیجه می شود  که 
img
قضیه 17 : اگر img , img  و  یک عدد ثابت مخالف با 0  باشد , انگاه اگر
img
اگر
img
این قضیه برقرار است اگر بجای img   بنویسیم img   یا      img
قضیه 18 : اگر   img  , img   و  c  یک عدد ثابت مخالف با صفر باشد انگاه اگر
img
(II) اگر
img
(III) این قضیه همچنان برقرار است اگر به جای  img   بنویسیم img   یا      img پیدا کردن مجانب های نمودار کمکی است به ترسیم هرتابع  .
تعریف 7 – 4 : خط  img   را یک مجانب قائم نمودار img  مینامند هرگاه دست کم یکی از عبارتهای زیر درست شود باشد :
(I) اگر img
(II) اگر img
(III) اگر img
(IV) اگر img

مثال 16 : مجانب قائم نمودار تابع تعریف شده توسط معادله  img   را بیابید و نمودار img    را رسم کنید .
حل :
img
از تعریف نتیجه می شود که خط img   یک مجانب قائم نمودار img   است نمودار  img  در شکل زیر نشان داده شده است .
در تمرینهای زیر حد های خواسته شده را محاسبه کنید .
1.img
2.img
3.img
4.img
5.img
6.img
در تمرینات زیر مجانب نمودار تابع را بیابید و نمودار آن را رسم کنید .
1.img
2.img


advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید

نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است