به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت
>>معادلات دیفرانسیل >> معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

اين معادلات به شكل كلي img مي باشند:
- برای معادله ديفرانسيل همگن داریم img
- برای معادله ديفرانسيل ناهمگن داریم img

قضايا :
1- اگر img جوابهاي عمومي و خصوصي معادله ديفرانسيل باشند آنگاه img نيز يك جواب معادله ديفرانسيل مي باشد.
2-اگر img دوجواب معادله ديفرانسيل باشندانگاه img نيز يك جواب مي باشد.

وابسته خطي :
اگر )پ(f(x و (g(x در فاصله [a,b] تعريف شده باشد و يكي از آنها مضربي ار ديگري باشد وابسته خطي مي باشند در غير اينصورت مستقل خطي مي باشد.
3-هرگاه img حل معادله ديفرانسيل img باشد آنگاه براي img خواهيم داشت :
img
كه دترمينان اين دستگاه رونسكي معادله ديفرانسيل ناميده مي شود يعني
كه با جا گذاري درمعادله ديفرانسيل خواهيم داشت :
img
اگر m=-p/2 آنگاه
img
حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم با ضرايب ثابت .
img
الف-img
جواب ويژه را بصورت زیر در نظر مي گيريم:
img
مثال:معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد.
img
حل:
img
اگر معادله دفرانسيل برابر با يك تابع نمايي بود يعني img آنگاه جواب ويژه بصورت img خواهد بود
اگر ريشه هاي تكراري داشتيم از معادله img استفاده خواهيم كرد .

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .

حل : با جاگذري img در معادله ديفرانسيل خواهيم داشت .
img
در نتيجه چون بايد داشته باشیم
img
img
به همين نحو
img
اگر img در هر حالت اگر img معادله مشخصه نباشد جواب به صورت img اگر img ريشه باشد با مرتبه تكرار r آنگاه جواب بصورت زیر خواهد بود img

مثال : معادله ديفرانسيل img راحل كنيد .
حل : در اين مثال img و img ريشه معادله مشخصه نيست بنابر اين جواب بصورت
img
اگر
img
باشد آنگاه img اگر img a ريشه معادله مشخصه با مرتبه تكرار r باشد آنگاه از جواب بصورت img استفاده مي كنيم .

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .
حل : داريم
img
اگر
img
جواب معادله ديفرانسيل و اگر img جواب معادله مشخص نباشد جواب بصورت img اگر
img معادله مشخصه با مرتبه r باشد آنگاه
img

مثال :معادله دیفرانسیل img را حل کنید.
جواب بصورت img مي باشد . بنابر اين img در نتيجه img مي باشد. اگر img انگاه جواب بصورت img مي باشد.به شرط اينكه img ريشه معادله مشخصه نباشد اگر باشد آنگاه جواب بصورت img مي باشد.

مثال :معادله ديفرانسيل img با شرايط اوليه img راحل كنيد.
حل : داريم
img
با استفاده از شرايط اوليه داريم .
img
اگر حالت ها ي مختلفي از موارد فوق داشته باشيم نيز به همين نحو عمل مي كنيم.به مثال زير توجه كنيد :

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .
براحتي مي دانيم كه جواب ويژه img برابر است با img و جواب ويژه img برابر است با
img

تمرين: معادلات ديفرانسيل زير را حل كنيد .
1- img
2- img
3- img
4- img
5- img
6- img
7- img


تاریخ بروزرسانی
1397/03/15

advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است