به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

معادلات دیفرانسیل / معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه دوم



اين معادلات به شكل كلي img مي باشند:
- برای معادله ديفرانسيل همگن داریم img
- برای معادله ديفرانسيل ناهمگن داریم img

قضايا :
1- اگر img جوابهاي عمومي و خصوصي معادله ديفرانسيل باشند آنگاه img نيز يك جواب معادله ديفرانسيل مي باشد.
2-اگر img دوجواب معادله ديفرانسيل باشندانگاه img نيز يك جواب مي باشد.

وابسته خطي :
اگر (f(x و (g(x در فاصله [a,b] تعريف شده باشد و يكي از آنها مضربي از ديگري باشد وابسته خطي مي باشند در غير اينصورت مستقل خطي مي باشد.
3-هرگاه img حل معادله ديفرانسيل img باشد آنگاه براي img خواهيم داشت :

img


كه دترمينان اين دستگاه رونسكي معادله ديفرانسيل ناميده مي شود يعني
كه با جا گذاري درمعادله ديفرانسيل خواهيم داشت :

img


اگر m=-p/2 آنگاه

img



حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم با ضرايب ثابت:

img


الف-img
جواب ويژه را بصورت زیر در نظر مي گيريم:

img


مثال:معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد.

img


حل:

img


اگر معادله دیفرانسيل برابر با يك تابع نمايي بود يعني img آنگاه جواب ويژه بصورت img خواهد بود اگر ريشه هاي تكراري داشتيم از معادله img استفاده خواهيم كرد .

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .
حل : با جاگذري img در معادله ديفرانسيل خواهيم داشت .

img


در نتيجه چون بايد داشته باشیم

img
img


به همين نحو

img


اگر img در هر حالت اگر img معادله مشخصه نباشد جواب به صورت img اگر img ريشه باشد با مرتبه تكرار r آنگاه جواب بصورت زیر خواهد بود

img


مثال : معادله ديفرانسيل img راحل كنيد .
حل : در اين مثال img و img ريشه معادله مشخصه نيست بنابر اين جواب بصورت

img


اگر img باشد آنگاه img اگر img a ريشه معادله مشخصه با مرتبه تكرار r باشد آنگاه از جواب بصورت img استفاده مي كنيم .

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .
حل : داريم

img


اگر

img


جواب معادله ديفرانسيل و اگر img جواب معادله مشخص نباشد جواب بصورت img اگر
img معادله مشخصه با مرتبه r باشد آنگاه
img

مثال :معادله دیفرانسیل img را حل کنید.
جواب بصورت img مي باشد . بنابر اين img در نتيجه img مي باشد. اگر img انگاه جواب بصورت img مي باشد.به شرط اينكه img ريشه معادله مشخصه نباشد اگر باشد آنگاه جواب بصورت img مي باشد.

مثال :معادله ديفرانسيل img با شرايط اوليه img راحل كنيد.
حل : داريم

img


با استفاده از شرايط اوليه داريم .

img


اگر حالت ها ي مختلفي از موارد فوق داشته باشيم نيز به همين نحو عمل مي كنيم.به مثال زير توجه كنيد :

مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد .
براحتي مي دانيم كه جواب ويژه img برابر است با img و جواب ويژه img برابر است با

img

تمعادلات ديفرانسيل زير را حل كنيد.

1. img

2. img

3. img

4. img

5. img

6. img

7. img


تاریخ بروزرسانی
1400/04/22



advertise
adverse1
adverse1
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است