به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

ریاضی عمومی / حد چپ و راست



در تعريف img, img هائي را درنظر ميگيريم كه در يك بازه شامل img و نه img خود   باشند ، يعني مقادير img نزديك به img را   چه بزرگتر و يا كوچكتر img از باشند . حال فرض كنيد تابعي چون img داريم كه img   چون براي img مقدار img وجود ندارد . بنابراين img در هيچ بازه باز شامل 4    معين نيست . لذا   img بي معني است . با وجود اين ، اگر img را به مقادير بزرگتر از 4 محدود كنيم ، مي توانيم مقدار img   را به اندازه دلخواه به نزديك كنيم ، با شرط اينكه img ها را بزرگتر از 4   ولي به اندازه كافي نزديك به 4 بگيريم . درچنين حالتي img ها را از سمت راست به 4 ميل ميدهيم و حد يكطرفه از راست يا حد راست را طبق تعريف زير داريم :

تعريف حد راست

فرض كنيد تابع img براي هر عدد در بازه بازي چون img تعريف شده باشد. حد img وقتي img از سمت راست به img ميل ميكند برابربا img است و نوشته مي شود :

img

هرگاه براي هر img هرقدر كوچك ، يك img وجود داشته باشد كه

img (1)

توجه كنيد كه در عبارت (1) چون img در دو طرف img علامت قدر مطلق وجود ندارد. از تعريف نتيجه ميشود كه

img

وقتي حد يك تابع را درنظر ميگيريم ، اگر متغير مستقل img را به مقادير كوچكتر از عدي مانند img محدود كنيم   ، ميگوئيم img از سمت چپ به img ميل   ميكند و در اينصورت حد را حد يكطرفه از چپ ميناميم.


تعريف حد چپ

فرض كنيد تابع img براي هر عدد در بازه بازي چون img تعريف شده باشد. حد img وقتي img از سمت چپ به img ميل ميكند برابربا img است و نوشته مي شود :

img

هرگاه براي هر img هرقدر كوچك ، يك img وجود داشته باشد كه img جهت تميز دادن img از حد هاي يكطرفه مي توانيم img را حد دوطرفه يا حد بدون جهت بناميم . اگر در قضاياي حدي بجاي img ، img يا img   گذاشته شود در درستي آنها تغيري حاصل نميشود .

مثال : فرض كنيد تابع img با ضابطه زير تعريف شده باشد .

img


(الف ) نمودار را رسم كنيد .
(ب) حد چپ را درصورت وجود بيابيد .
(ج) حد راست را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار تابع در شكل زير رسم شده است :

img

img


در مثال فوق چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند ، حد دوطرفه img وجود ندارد اين قضيه را به صورت زير بيان مي كنيم :

قضيه 11 : img وجود دارد و برابر با img است اگر و تنها اگر img و img هر دو موجود و برابر img باشند .

مثال 10 : فرض كنيد تابع img با ضابه زير تعريف شده باشد :

img


(الف) نمودار img را رسم كنيد.
(ب) img
را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار img در شكل زير رسم شده است :

img

img


پس بنا به قضيه فوق img وجود دارد و برابر 0 است . توجه كنيد كه img ، و هيچ اثري روي img ندارد.

مثال 11 :حد تابع را در شرایط زیر محاسبه کنید:

img

1.img

2.img

3.img


حل : با استفاده از تعريف قدر مطلق داريم :

img



(لف )

img



(ب)

img



(ج) چون حد هاي چپ و راست برابر نيستند   img پس وجود ندارد .
img

مثال 12 :حد تابع مقابل را محاسبه كنيد

img


(الف)

img


(ب)

img


(ج)

img


حل :
( الف ) اگر img باشد ميدانيم img بنابراين

img


(ب) اگر img باشد ميدانيم img بنابراين

img


ج) چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند بنابراين img وجود ندارد

مثال 13 : اگر   img

( الف )  

img


( ب)

img


(ج )

img


حل : اگر img باشد داريم img و img و اگر img بنابراين   img و اگر img باشد . img ، img و img

(الف )

img


(ب)

img


(ج) چون حد چپ و راست با هم برابر هستند

img

img


درتمرينهاي زير نمودار تابع را رسم كنيد حد هاي مشخص شده را درصورت وجود بيابيد . اگر حد وجود ندارد دليل آنرا ذكر كنيد :
1 -

img


2 –

img


3 –

img


4 –

img


5 –

img


6 –

img


7 – تابع f مفروض است مطلوب است مقدار img به طوري كه img وجود داشته باشد .

img

تاریخ بروزرسانی
1399/12/21



advertise
adverse1
adverse1
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است