به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال, به مساله پیدا کردن خط مماس وارد بر منحنی در یک نقطه معین روی منحنی مربوط می شوند. در هندسه مسطحه اگر منحنی دایره باشد, خط مماس در یک نقطه روی دایره, به عنوان خطی تعریف میشود که دایره را فقط در یک نقطه قطع میکند. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنی ها صادق نیست. به عنوان مثال در شکل زیر خطی که میخواهیم در نقطه بر منحنی مماس باشد, منحنی را در نقطه دیگری مانند قطع خواهد کرد.

در این بخش, تعریف مناسبی از خط مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای روی نمودار ارائه میدهیم. برای این کار, ضریب زاویه خط مماس در یک نقطه را تعریف میکنیم, زیرا اگر ضریب زاویه یک خط و نقطه ای روی آن معلوم باشد, آن خط معین میشود. تصور کنید تابع در پیوسته است. میخواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در نقطه را به دست آوریم. فرض کنید بازه بازی باشد که شامل است و بر این بازه تعریف شده است. نقطه دیگر را روی نمودار در نظر می گیریم به طوری که نیز در باشند خطی را که از و می گذرد رسم میکنیم. هرخطی که از دو نقطه یک منحنی بگذرد, خط قاطع نامیده می شود, پس خط گذرنده از و یک خط قاطع است. در شکل زیر خط قاطع به ازای مقادیر مختلف رسم شده است. در شکل دیگر یک خط قاطع خاص نشان داده شده است. در این شکل در طرف راست قرار دارد. معهذا, می تواند در طرف چپ نیز باشد, همچنانکه در شکل زیر دیده میشود.

تفاضل طولهای نقاط و را با نشان میدهیم. بنابراین ممکن است مثبت یا منفی باشد. پس ضریب زاویه خط قاطع به شرطی که قائم نباشد, از رابطه زیر به دست میآید.

چون معادله فوق را میتوانیم به صورت زیربنویسیم

حال فرض کنید نقطه ثابت باشد, و نقطه در طول منحنی به طرف حرکت دهیم, یعنی به سمت میل کند. این عمل معادل است با اینکه را به سمت صفر میل بدهیم. ضمن انجام این عمل, خط قاطع حول نقطه ثابت گردش میکند. اگر این خط قاطع دارای یک وضعیت حدی باشد, همین وضعیت حدی است که ما میخواهیم خط مماس بر نمودار در نقطه باشد. از اینرو میخواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در برابر با حد باشد وقتی که به سمت صفر میل میکند, البته چنانچه این حد وجود داشته باشد. اگر یا , آنگاه به صفر میل میکند و خط به سمت خطی که از میگذرد و موازی محور هاست میل میکند. در این حالت میخواهیم خط مماس بر منحنی در همان خط باشد از بحث فوق به نتیجه زیر میرسیم.

تعریف 1 : فرض کنید تابع در پیوسته باشد. خط مماس بر نمودار ب در نقطه عبارت است از (i) خطی که از میگذرد و دارای ضریب زاویه است که از رابطه زیر بدست می آید

(i)

به شرطی که این حد وجود داشته باشد.
(ii) خط اگر

اگر هیچکدام از حالات (i) و (ii) تعریف برقرار نباشد, آنگاه خط مماس برنمودار در نقطه وجود ندارد.

مثال 1: سهمی مفروض است. در هریک از قسمتهای (الف) تا (پ) ضریب زاویه خط قاطعی را که از دو نقطه داده شده میگذرد, بیابید.
الف)
ب)
پ)
ت) ضریب زاویه خط مماس بر سهمی را در نقطه را بدست آورید.

حل: حل فرض کنید , و , به ترتیب ضریب زاویه خطوط قاطع در قسمتهای (الف), (ب) و(پ) باشند.
الف)
ب)
پ)
ت) با استفاده از 1 داریم:

تعریف 2 : خط قائم بر منحنی در نقطه ای مفروض, عبارت است از خط عمود بر خط مماس در ان نقطه

مثال: معادله آن خط قائم بر منحنی را که موازی خط باشد, را پیدا کنید.
حل: فرض کنید خط مفروض باشد. برای یافتن ضریب زاویه , معادله آن را به صورت ضریب زاویه – عرض از مبدا, مینویسیم پس ضریب زاویه برابر با است و ضریب زاویه خط قائم مطلوب نیز است زیرا دو خط با هم موازیند . برای یافتن ضریب زاویه خط مماس بر منحنی داده شده در نقطه , تعریف را با ضابطه به کار میبریم .

برای محاسبه حد فوق, صورت را گویا میکنیم

اگر صورت و مخرج را بر تقسیم کنیم (چون ) , به دست می آوریم

چون خط قائم در یک نقطه عمود بر خط مماس در آن نقطه است, حاصلضرب ضریب زاویه های آنها برابر است. بنابر این , ضریب زاویه خط قائم در از رابطه زیر به دست می آید.

همچنانکه در بالا نشان داده شد, ضریب زاویه خط مطلوب برابر با است. بنابراین, معادله را حل میکنیم تا به دست بیاید پس , خط مطلوب از نقطه روی منحنی میگذرد و ضریب زاویه آن است . معادله چنین خطی به صورت نقطه- ضریب زاویه ای عبارت است از و یا . به شکل زیر مراجعه کنید, که نمودار منحنی را همراه با خط, خط قائم در نقطه و خط مماس در نقطه را نشان میدهد.