y را به عنوان تابعی از x در نظر می گیریم هرگاه قاعده ای وجود داشته باشد که بر طبق آن، به ازای هر مقدار x مقدار یکتایی به y نسبت داده شود. مثالهای آشنایی از این گونه روابط عبارتند از:
تعریف رسمی تابع مفهوم آنرا دقیق می سازد.
مجموعه ای از زوجهای مرتب اعداد به صورت (x,y) است که در بین آنها هیچ دو زوج مرتب متمایزی که دارای عضوهای اول یکسان باشند یافت نشود. مجموعه تمام مقادیر ممکن x را قلمرو تابع و مجموعه تمام مقادیر ممکن y را برد تابع می نامند.
در تعریف تابع این محدودیت که هیچ دو زوج مرتب متمایزی نمی توانند مولفه های اول یکسانی داشته باشند ما را مطمئن می سازد که به ازای هر مقدار خاص x مقدار y یکتاست.
معادله(1) معرف یک تابع است. این تابع را f بنامید. این معادله قاعده ای به دست می دهد که طبق آن اگر x داده شود مقدار یکتایی برای y به دست می آید بدین ترتیب که x را در خود و سپس در عدد 2 ضرب می کنیم و 25 را به آن اضافه می نماییم. تابع عبارت است از مجموعه زوجهای مرتب (x,y) به طوری که x و y در رابطه (1) صدق می کنند یعنی:
اعداد x,y را معتبر می نامیم. چون برای تابع f به x مقادیری نسبت می دهیم و مقدار y بستگی به انتخاب x دارد . x را متغیر مستقل و y را متغیر وابسته می نامیم. قلمرو تابع عبارت است از مجموعه تمام مقادیر ممکن متغیر مستقل و برد تابع مجموعه تمام اعداد حقیقی است که می توان آن را با نماد بازه به صورت ( ) نمایش داد.
کوچکترین مقداری که این تابع می تواند به عنوان خروجی ارائه کند 25 است (وقتی x=0) نمایش داده می شود.پس برد مجموعه تمام اعداد تا کمتر از 25 است و لذا (,25 ).
اگر f یک تابع باشند نمودار f عبارت است از مجموعه تمام مقادیر(x,y) واقع در R به طوری که (x,y) زوج مرتبی از f باشد.
مثال1: فرض کنید قلمرو و بردh کدام یک از موارد زیر است؟
الف ـ قلمرو برد .
ب ـ قلمرو و برد
ج ـ قلمرو برد
د ـ هیچکدام
حل: قلمرو h بازه و برد آن است. نمودار در شکل زیر رسم شده است.
مثال2: فرض کنید F تابعی می باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) بطوری که قلمرو و برد F را بیابید
نمودار بر اساس معادله موجود در صورت مساله کشیده شده است قلمرو تابع F بازه و برد آن است.
مثال3: فرض کنید G تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
G
قلمرو بردG کدام یک از موارد زیر است؟
حل: شکل زیر نمودارG را نشان می دهد . چون به ازای هر x بجز x=3 مقداری برای y به دست می آید پس قلمرو عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز عدد 3 وقتی x=3 صورت و مخرج هر دو برابر صفر هستند و 0/0 معین نیست.
اگر صورت را تجزیه کنیم. داریم یا y=x+3 به شرطی که به عبارت دیگر تابع G متشکل از تمام زوجهای مرتب (x,y) است که برد G عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز 6. نمودار تابع عبارت است از تمام نقاط واقع بر خط y=x+3 بجز نقطه (3,6).
مثال4: فرض کنید H تابعی متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
قلمرو و برد H کدام یک از موارد زیر می باشد؟
حل: شکل زیر نمودار تابع H را نشان می دهد. نمودار تشکیل می شود از نقطه (3,2) و تمام نقاط روی خط y=x+3 بجز نقطه (3,6). تابع H برای تمام مقادیر x معین است و بنابراین قلمرو بازه است. بردH عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز عدد 6
مثال5: فرض کنیدy تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که برد y را بیابید و نمودار آن را رسم کنید؟
حل: نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است. اگر صورت و مخرج را تجزیه کنیم، داریم
y=(x+4)(x-1)(x-3)/(x+4)(x-3)(x+3)
مخرج کسر هنگامی که x مقادیر 3,3-,4- را دارا باشد برابر صفر است. بنابراین تابع برای این سه مقدار تعریف نمی شود. برای مقادیر 3-,3 و می توان صورت و مخرج را بر عوامل مشترک تقسیم کرده و رابطه زیر را به دست آورد .
اگر x نامساوی با مقادیر 3,3-,4- باشد آنگاه y=x-1 بنابرین قلمرو y عبارت است از مجموعه تمام اعداد حقیقی بجز اعداد 3,3-,4-. برد y عبارت است از مجموعه تمام اعداد حقیقی بجز مقادیر حاصل از قرار دادن 3,3-,4- به جای x در معادله y=x-1 یعنی تمام اعداد حقیقی بجز اعداد 4,2-,5-. نمودار y عبارت از خط مستقیم y=x-1 بجز نقاط (3,2),(3-,4-)(4-,5-).
مثال 6: فرض کنید f تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
قلمرو و برد f را بیابید و نمودار آن را رسم کنید؟
حل: نمودار f در شکل زیر رسم شده است. این نمودار از نقطه (2,7) و تمام نقاط سهمی بجز نقطه (2,4) تشکیل شده است. تابع برای تمام مقادیر x معین است پس قلمرو آن است. برد f متشکل است از تمام اعداد حقیقی نامنفی.
مثال7: فرض کنید h تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
قلمرو و برد h بیابید و نمودار آن را رسم کنید.
حل: نمودار h در شکل زیر نشان داده شده است. قلمرو است. مقادیر y با کمتر از 2 و یا ناکمتر از 7 هستند. بنابراین برد عبارت است از و یا متشکل از تمام اعدادی حقیقی است که در بازه (2,7] نباشند.
مثال8: فرض کنید قلمرو و بردg را بیابید و نمودار آن را رسم کنید.
حل: چون هنگامی که (x-2)>0 یک عدد حقیقی نیست قلمرو g متشکل از مقادیری از x است که به ازای آنها (x-2)0≤x. این نامساوی در هر یک از دو حالت زیر برقرار است:
حالت1:x-2≤0 ,x≤0 یعنی x≤2 ,x≤0 هر دو نامساوی فوق به ازای x≥2 یعنی در بازه برقرارند.
حالت2: x≤2,x≤0 هر دو نامساوی فوق به ازای x≤0 یعنی در بازه برقرارند.
جوابهای دو حالت را با هم ترکیب می کنیم تا قلمرو g که عبارت است از (]U [ است شکل زیر نمودار را نشان می دهد.
مثال9: اگر دامنه تعریف و برد F را بیابید.
حل: (1) y=((2x+1)(2x-1)/(2x-1) و دامنه تابع F مجموعه
است. اگر باشد صورت و مخرج (1) را بر 2x-1 تقسیم کرده ، داریم:
(2) 1/2 اگر y= -1/2
نمودار تابع F خط y=2x-1 بجز وقتی x=-1/2 است مقدار y نظیر x=-1/2 را با قرار دادن x=-1/2 در معادله (2) می توان تعیین کرد 1/2 ، y= -1/2 با استفاده از نمودار تابع مشاهده می کنیم که برد تابع، مجموعه زیر است.
مثال10: دامنه تعریف را یافته آن را رسم کنید.
حل: (1) و دامنه تابع مجموعه xlx} است و اگر x باشد صورت و مخرج (1) را بر (x+2)(x-3) تقسیم کرده ، داریم:
(2)اگر x نامساوی با 2- و 3 باشد y=x-2 و نمودار تابع g خط y=x-2 بجز وقتی x ، -2,3 است و مقدار y نظیر
x=3,x=-2 را با قرار دادن x=-2 و x=3 در (2) بدست می آوریم y=-4 و y=1 نمودار تابع در شکل مقابل دیده می شود و با استفاده از نمودار تابع ملاحظه می شود که برد تابع مجموعه y} است
در مثالهای زیر توابع داده شده را به صورت مجموعه زوج های مرتبی از (x,y) در نظر بگیریم که در معادلات داده شده صدق کنند و سپس دامنه و برد تابع را تعیین کرده و نمودار آن را رسم می کنیم.
مثال 11: دامنه تعریف تابع زیر را یافته آن را رسم کنید.
دامنه تابعh مجموعه است و برد h مجموعه {4-,3-,1} .
می باشد. تابع h از اجتماع سه تابع تشکیل شده و هر کدام را با توجه به دامنه جداگانه رسم می کنیم.
مثال12: دامنه تعریف تابع زیر را یافته آن را رسم کنید.
حل : دامنه تابع h مجموعه است و اگر x=-3 را در قرار دهیم y=5 خواهد شد. یعنی نمودار از نقطه (2-,3-) و تمام سهمی بجز نقطه (5و3-) تشکیل می شود. برد این تابع است.
مثال13: دامنه تعریف زیر را بیابید و آن را رسم کنید:
حل: دامنه تابع مجموعه است. تابع f از اجتماع سه تابع تشکیل شده که ما جداگانه هر کدام را بررسی می کنیم.
نمودار تابع f قسمتی از خط y=x+5 است که مقطه سمت چپ آن (5,0-) می باشد و
طرفین معادله (2) را بتوان دو می رسانیم. داریم که این معادله دایره ای به مرکز مبداء مختصات و شعاع 5 است و مقادیر y≥0 زیرا علامت رادیکال در معادله (2) دلیل بر غیرمنفی بودن است بنابراین نمودار نیمدایره ای است که در زیر محور x ها قرار ندارد و اگر نمودار قسمتی از خط y=x-5 است که در طرف راست نقطه (5,0) قرار دارد و نمودار f از اجتماع نمودار توابع و و نتیجه می شود و با استفاده از نمودار، برد تابع فاصله است.
مثال14: نمودار تابع زیر را رسم کنید.
حل: دامنه تابع g مجموعه است . تابع g از اجتماع دو تابع زیر تشکیل شده است.
و نمودار تابعg از اجتماع نمودار توابع و نتیجه می شود و با استفاده از نمودار برد تابع فاصله است.
مثال15: دامنه تعریف تابع زیر را بیابید.
حل: مخرج کسر زیر به ازای مقادیر x=3,x=2,x=1
Y=((x+4)(x-1)(x-2)(x-3)/(x-1)(x-2)(x-3) صفر می شود . بنابراین دامنه تابع مجموعه است . اگر x عدد دلخواهی متعلق به دامنه تابع باشد. صورت و مخرج کسر را ساده کرده ، داریم اگر y=x+4 نمودار تابع G خط y=x+4 حذف شده نقطه (3,7),(2,6),(1,5) از این خط است و با استفاده نمودار برد آن مجموعه است.
مثال16:
حل: بخاطر دارید که است، اگر باشد، بنابراین y به ازای هر مقدار حقیقی x حقیقی می شود و به دامنه تابع فاصله است. می دانیم که اگر باشد
و در نتیجه باشد .
وداریم
مثال17: دامنه و برد تابع زیر را تعیین کرده و نمودار آن را رسم کنید.
حل: دامنه تابع فاصله است.
اگر x, x=1 در این صورت x=1 و
اگر x در اینصورت .
فرض کنید g تابعی است متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) که به وسیله معادله (g) تعریف می شوند یعنی:
چون صرفا با اعداد حقیقی سروکار داریم فقط به ازای مقادیر یا ( و به عبارت دیگر ) تابعی از x است زیرا به ازای هر x ی که در هر یک از این نامساویها صدق کند مقدار یکتایی برای y به دست می آید . ولی اگر در بازه (3,3-) باشند ریشه دوم یک عدد منفی به دست می آید و بنابراین هیچ عدد حقیقیy وجود ندارد. از اینرو x را باید محدود کنیم و لذا
( و برد آن است. باید تاکید شود که برای آنکه تابع وجود داشته باشد باید به ازای هر مقدار متغیر مستقل در قلمرو تابع دقیقا یک مقدار برای متغیر وابسته به دست می آید.
فرض کنید تابع fبا معادله و نمودار f در شکل زیر رسم شده باشد. قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی نابیشتر از 5 یعنی بازه (5,
-) و برد آن مجموعه تمام اعداد حقیقی نامنفی یعنی است.
در نمونه بعدی تابع به وسیله بیش از یک معادله تعریف شده است، چنین تعریفی مجاز است به شرط آنکه به ازای هر مقدار x در قلمرو، مقدار یکتایی برای y در برد وجود داشته باشد.
فرض کنید g تابع متشکل از تمام زوجهای مرتب (x,y) باشد که
قلمرو ) است در حالی که برد آن فقط از سه عدد 3-و1و4 تشکیل می شود. نمودار تابع در شکل زیر نشان داده شده است.
مشاهده می کنید.که در شکل ذیل یک شکستگی در x=-1 و شکستگی دیگری در x=2 وجود دارد. گوییم g در 2 و 1- ناپیوسته است. توابع پیوسته و ناپیوسته را در قسمت دیگر بررسی خواهیم کرد.
معادله زیر را در نظر بگیرید
نمودار این مجموعه در شکل زیر نشان داده شده است. این مجموعه از زوجهای مرتب تابع نیست زیرا برای هر x در بازه (5,5-) دو زوج مرتب با مولفه اول x وجود دارد. مثلا زوجهای (3,4) و (4,4-) هر دو در
مجموعه فوق قرار دارند. بعلاوه توجه کنید که نمودار این مجموعه دایره ای به مرکز مبداء و به شعاع 5 است و هر خط قائم با معادله x-a ( با شرط 0 )این نمودار را در دو نقطه قطع می کنند.
فرض کنید تابع F بزرگترین عدد صحیح باشد، یعنی F – {(x,y) l y-[x]}.
نمودار در شکل زیر رسم شده است، برای رسم آن از مقادیر زیر استفاده شده است.
قلمرو F مجموعه تمام اعداد حقیقی و برد آن تمام اعداد صحیح است.