به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

مختصری در مورد تابع

Y را به عنوان تابعی از x در نظر می گیریم هر گاه قاعده ای وجود داشته باشد که بر طبق آن، به ازای هر مقدار کماندار یکتایی به y نسبت داده شود. مثالهای آشنایی از این گونه روابط عبارتند از:
1) معادله درجه دوم
2) معادله درجه دوم
تعریف رسمی تابع مفهوم آنرا دقیق می سازد.
1ـ 1ـ تعریف تابع: مجموعه از زوجهای مرتب اعداد به صورت (x,y) است که در بین آنها هیچ دو زوج مرتب متمایزی که دارای عضوهای اول یکسان باشند یافت نشود. مجموعه تمام مقادیر ممکن x را قلمرو تابع و مجموعه تمام مقادیر ممکن y را برد تابع می نامند.
در تعریف 1-1 این محدودیت که هیچ دو زوج مرتب متمایزی نمی توانند مولفه های اول یکسانی داشته باشند ما را مطمئن می سازد که به ازای هر مقدار خاص x مقدار y یکتاست.
معادله(1) معرف یک تابه است. این تابع را f بنامید. این معادله قاعده ای به دست می دهد که طبق آن اگر x داده شود مقدار یکتایی برای y به دست می آید بدین ترتیب که x را در خود و سپس در عدد 2 ضرب می کنیم و 5 را به آن اضافه می نماییم. تابع عبارت است از مجموعه زوجهای مرتب (x,y) به طوری که x و y در رابطه (1) صدق می کنند یعنی:
image
اعداد x,y را معتبر می نمامیم. چون برای تابع f به x مقادیری نسبت می دهیم و مقدار y بستگی به انتخاب x دارد . x را متغیر مستقل و y را متغیر وابسته می نامیم. قلمرو تابع عبارت است از مجموعه تمام مقادیر ممکن متغیر مستقل و برد تابع مجموعه تمام مقادیر ممکن متغیر مستقل و برد تابع مجموعه تمام اعداد حقیقی است که می توان آن را با نماد بازده به صورت (image ) نمایش داد.
کوچکترین مقداری که می تواند قبول کند 5 است (وقتی x=0) نمایش داده می شود.پس برد مجموعه تمام اعداد تا کمتر از 5 است و لذا (image,5 ).
نمونه1: فرض کنید g تابعی است متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) که به وسیله معادله (y) تعریف می شوند یعنی:
image
چون صرفا با اعداد حقیقی سروکار داریم فقط به ازای مقادیر image یا image ( و به عبارت دیگر image ) تابعی از x است زیرا به ازای هر x ی که در هر یک از این نامساویها صدق کند مقدار یکتایی برای y به دست می آید . ولی اگر در بازه (3,3-) باشند ریشه دوم یک عدد منفی به دست می آید و بنابراین هیچ عدد حقیقیy وجود ندارد. از اینرو x را باید محدود کنیم و لذا
image
( image و برد آن image است. باید تاکید شود که برای آنکه تابع وجود داشته باشد باید به ازای هر مقدار متغیر مستقل در قلمرو تابع دقیقا یک مقدار برای متغیر وابسته به دست می آید.

2ـ1ـ تعریف اگر f یک تابع باشند نمودار f عبارت است از مجموعه تمام (x,y) واقع در R به طوری که (x,y) زوج مرتبی از f باشد.
نمونه2: فرض کنید: image نمودار f در شکل زیر رسم شده است. قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی تا بیشتر از 5 یعنی بازه (5,image-) و است و برد آن مجموعه تمام اعداد حقیقی نامنفی یعنی image) و برد آن مجموعه تمام اعداد حقیقی نامنفی یعنی image است.

image

در نمونه بعدی تابع به وسیله بیش از یک معادله تعریف شده است، چنین تعریفی مجاز است به شرط آنکه به ازای هر مقدار x در قلمرو مقدار یکتایی برای y در برد وجود داشته باشد.
نمونه3: فرض کنید g تابع متشکل از تمام زوجهای مرتب (x,y) باشد که
imagey=
قلمرو image) است در حالی که برد آن فقط از سه عدد 4,1,-3 تشکیل می شود. نمودار تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

image

مشاهده می کنید.که در شکل ذیل یک شکستگی در x=-1 و شکستگی دیگری در x=2 وجود دارد. گوییم g در 2,-1 ناپیوسته است. توابع پیوسته و ناپیوسته را در قسمت دیگر بررسی خواهیم کرد.

image

نمونه4: مجموعه زیر را در نظر بگیرید image)}
نمودار این مجموعه در شکل زیر نشان داده شده است. این مجموعه از زوجهای مرتب تابع نیست زیرا برای هر x در بازه (-5,5) دو زوج مرتب با مولفه اول x وجود دارد. مثلا زوجهای (3,4) و (4,-4) هر دو در
مجموعه فوق قرار دارند. بعلاوه توجه کنید که نمودار این مجموعه دایره ای به مرکز مبداء و به شعاع 5 است و هر خط قائم با معادله x-a ( با شرط 0image )این نمودار را در دو نقطه قطع می کنند.
مثال1: فرض کنید image قلمرو و بردh کدام یک از موارد زیر است؟
الف ـ قلمرو image برد image .
ب ـ قلمرو image و بردimage
ج ـ قلمرو image برد image
د ـ هیچکدام
حل: قلمرو h بازه image و برد آن image است. نمودار در شکل زیر رسم شده است.

image

مثال2: فرض کنید F تابعی می باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) بطوری که image

image

قلمرو و برد F را بیابید و نمودار شکل زیر نشان داده شده است و قلمرو F بازه image و برد آن image است.
مثال3: فرض کنید G تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
image
قلمرو بردG کدام یک از موارد زیر است؟
الف)R
ب)R=(3)
ج) R={-3}
د) هیچکدام
حل: شکل زیر نمودارG را نشان می دهد . چون به ازای هر x مقداری بجز x=3 مقداری برای y به دست می آید پس قلمرو عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز عدد 3 وقتی x=3 صورت و مخرج هر دو برابر صفر هستند و 0/0 معین نیست.

image

اگر صورت را تجزیه کنیم. داریم image یا y=-x+3 به شرطی که image به عبارت دیگر تابع G متشکل از تمام زوجهای مرتب (x,y) است که برد G عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز 6. نمودار تابع عبارت است از تمام نقاط واقع بر خط y=x+3 بجز نقطه (3,6).
مثال4: فرض کنید H تابعی متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) image به طوری که
image قلمرو و برد H کدام یک از موارد زیر می باشد؟
الف)R,R
ب) R,R={0}
ج) R={6} ,R
د)هیچکدام
حل: شکل زیر نمودار را نشان می دهد. نمودار تشکیل می شود از نقطه (3,2) و تمام نقاط روی خط y=x+3 بجز نقطه (3,6). تابعH برای تمام مقادیر x معین است و بنابراین قلمرو بازه image است. بردH عبارت است از تمام اعداد حقیقی بجز عدد 6

image

مثال5: فرض کنیدy تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که image برد y را بیابید و نمودار آن را رسم کنید؟
حل: نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است. اگر صورت و مخرج را تجزیه کنیم، داریم y=(x+4)(x-1)(x-3)/(x+4)(x-3)(x+3)

image

مخرج کسر هنگامی که x مقادیر 3,-3,-4 را دارا باشد برابر صفر است. بنابراین تابع برای این سه مقدار تعریف نمی شود. برای مقادیر -3,3 و image می توان صورت و مخرج را بر عوامل مشترک تقسیم کرده و رابطه زیر را به دست آورد . اگرimage y=x-1 بنابرین قلمرو y عبارت است از مجموعه تمام اعداد حقیقی بجز اعداد 3,-3 , -4. برد y عبارت است از مجموعه تمام اعداد حقیقی بجز مقادیر حاصل از قرار دادن -3, -4. یا 3 به جای x در معادله y-x-1 یعنی تمام اعداد حقیقی بجز اعداد 2,-4,-5. نمودار y عبارت از خط مستقیم y-x-1 بجز نقاط (3,2),(-3,-4)(-4,-5).
مثال 6: فرض کنید f تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
image
قلمرو و برد f را بیابید و نمودار آن را رسم کنید؟
حل: نمودار f در شکل زیر رسم شده است. این نمودار از نقطه (2,7) و تمام نقاط سهمی image بجز نقطه (2,4) تشکیل شده است. تابع برای تمام مقادیر x معین است پس قلمرو آن image است. برد f متشکل است از تمام اعداد حقیقی نامنفی.

image

مثال7: فرض کنید h تابعی باشد متشکل از مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) به طوری که
image
قلمرو و برد h بیابید و نمودار آن را رسم کنید.

image

حل: نمودار h در شکل زیر نشان داده شده است. قلمرو image است. مقادیر y با کمتر از 2 و یا ناکمتر از 7 هستند. بنابراین برد عبارت است از image و یا متشکل از تمام اعدادی حقیقی است که در بازه (2,7] نباشند.
مثال8: فرض کنید image قلمرو و بردg را بیابید و نمودار آن را رسم کنید.
حل: چون image هنگامی که (x-2)>0 یک عدد حقیقی نیست قلمرو g متشکل از مقادیری از x است که به ازای آنها (x-2)0≤x. این نامساوی در هر یک از دو حالت زیر برقرار است:
حالت1:x-2≤0 ,x≤0 یعنی x≤2 ,x≤0 هر دو نامساوی فوق به ازای x≥2 یعنی در بازه image برقرارند.
حالت2: x≤2,x≤0 هر دو نامساوی فوق به ازای x≤0 یعنی در بازه image برقرارند.
جوابهای دو حالت را با هم ترکیب می کنیم تا قلمرو g که عبارت است از (image]U [image است شکل زیر نمودار را نشان می دهد.

image

در نمونه بعدی علامت [x] را به کار می بریم که بنا به تعریف ، عبارت است از بزرگترین عدد صحیح ناکمتر از x، یعنی وقتی n یک عددصحیح باشند، داریم اگر image این تابع بزرگترین عدد صحیح می نامیم. از تعریف نتیجه می شود که
image

نمونه5: فرض کنید تابع F بزرگترین عدد صحیح باشد، یعنی F – {(x,y) l y-[x]}.
نمودار در شکل زیر رسم شده است، برای رسم آن از مقادیر زیر استفاده شده است.

image
image
image
image
image
image
image
image
image

image

قلمرو F مجموعه تمام اعداد حقیقی و برد آن تمام اعداد صحیح است.
مثال9: اگر image دامنه تعریف و برد F را بیابید.
حل: (1) y=((2x+1)(2x-1)/(2x+1) و دامنه تابع F مجموعه image
است. اگر image باشد صورت و مخرج (1) را بر 2x-1 تقسیم کرده ، داریم:
(2) image1/2 اگر y= -1/2

image

نمودار تابع F خط y=2x-1 بجز وقتی x=-1/2 است مقدار y نظیر x=-1/2 را با قرار دادن x=-1/2 در معادله (2) می توان تعیین کرد 1/2 ، y= -1/2 با استفاده از نمودار تابع مشاهده می کنیم که برد تابع، مجموعه {2Iy,1-2} است.
image
مثال10: دامنه تعریف image را یافته آن را رسم کنید.
حل: (1) image و دامنه تابع مجموعه imagexlx} است و اگر imagex باشد صورت و مخرج (1) را بر (x+2)(x-3) تقسیم کرده ، داریم:
(2)اگر x نامساوی با 2 و 3 باشد y=x-2 و نمودار تابع g خط y-x-2 بجز وقتی x ، -2,3 است و مقدار y نظیر

image

x-3,x=-2 را با قرار دادن x=-2 و x=3 در (2) بدست می آوریم y=-4 و y=1 نمودار تابع در شکل مقابل دیده می شود و با استفاده از نمودار تابع ملاحظه می شود که برد تابع مجموعه imagey} است
image
در مثالهای زیر توابع داده شده را به صورت مجموعه زوج های مرتبی از (x,y) در نظر بگیریم که در معادلات داده شده صدق کنند و سپس دامنه و برد تابع را تعیین کرده و نمودار آن را رسم می کنیم.
مثال 11: دامنه تعریف تابع زیر را یافته آن را رسم کنید.
image
دامنه تابعh مجموعه image است و برد h مجموعه {-4,1,-3} .

image

می باشد. تابع h از اجتماع سه تابع تشکیل شده و هر کدام را با توجه به دامنه جداگانه رسم می کنیم.
مثال12: دامنه تعریف تابع زیر را یافته آن را رسم کنید.
image
حل : دامنه تابع h مجموعه image است و اگر x=-3 را در image قرار دهیم y=5 خواهد شد. یعنی نمودار از نقطه (2-,3-) و تمام سهمی image بجز نقطه (3,5) تشکیل می شود. برد این تابع image است.

image

مثال13: دامنه تعریف زیر را بیابید و آن را رسم کنید:
image
حل: دامنه تابع مجموعه image است. تابع f از اجتماع سه تابع تشکیل شده که ما جداگانه هر کدام را بررسی می کنیم.
(1) image
نمودار تابع f قسمتی از خط y=x+5 است که مقطه سمت چپ آن (-5,0) می باشد و
(2) image

image

طرفین معادله (2) را بتوان دو می رسانیم. داریم image که این معادله دایره ای به مرکز مبداء مختصات و شعاع 5 است و مقادیر y≥0 زیراعلامت رادیکال در معادله (2( دلیل بر غیرمنفی بودن است بنابراین نمودار image نیمدایره ای است که در زیر محور x ها قرار ندارد و image اگر image نمودار قسمتی از خط y=x-5 است که در طرف راست نقطه (5,0) قرار دارد و نمودار f از اجتماع نمودار توابع image و image و image نتیجه می شود و با استفاده از نمودار، برد تابع فاصله image است.
مثال14: نمودار تابع زیر را رسم کنید.
image
حل: دامنه تابع g مجموعه image است . تابع g از اجتماع دو تابع زیر تشکیل شده است.
image
image

image

و نمودار تابعg از اجتماع نمودار توابع image و image نتیجه می شود و با استفاده از نمودار برد تابع فاصله image است.
مثال15: دامنه تعریف تابع زیر را بیابید.
image

image

حل: مخرج کسر زیر به ازای مقادیر x=3,x=2,x=1 Y=((x+4)(x-1)(x-2)(x-3)/(x-1)(x-2)(x-3) صفر می شود . بنابراین دامنه تابع مجموعه image است . اگر x عدد دلخواهی متعلق به دامنه تابع باشد. صورت و مخرج کسر را ساده کرده ، داریم image اگر y=x+4 نمودار تابع G خط y=x+4 حذف شده نقطه (3,7),(2,6),(1,5) از این خط است و با استفاده نمودار برد آن مجموعه image است.
مثال16: image
حل: بخاطر دارید که image است، اگر image باشد، بنابراین y به ازای هر مقدار حقیقی x حقیقی می شود و به دامنه تابع فاصله image است. می دانیم که اگر image باشد
image وimage در نتیجه image باشد .
image وداریم
image
image
image

مثال17: دامنه و برد تابع زیر را تعیین کرده و نمودار آن را رسم کنید.
image
حل: دامنه تابع فاصله image است.
image
image
image
image
اگر x, x=1 در این صورت x=1 وimage
اگر image x در اینصورت image .
image تمرین:
image
image
image
image
image
image
image
image
image
10ـ image
11ـ image
12ـ image
13ـ image
14ـ image
درس بعد: جبر توابع


advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید

نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است