به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

معادلات دیفرانسیل / جوابها بصورت سري معادلات خطي مرتبه دوم



يك سري تواني ازx بصورت زیر مي باشد.

img


تعريف معادله خطي همگن مرتبه دوم به صورت img را در نظر بگيريد. نقطه x0 را نقطه عادي مي گوييم اگر هردو تابع p و q در x0 تحليلي باشد ( سري در x0 همگرا باشد ). اگر حداقل يكي از p و q ها تحليلي نباشد انگاه x0 را نقطه تكين مي ناميم. به عبارت ديگر اگر درحالتي كه p و q كسري هستند در نقطه اي كه مخرج كسر صفر نشود تحليلي هستند و نقاطي كه مخرج صفر مي شود تكين هستند.
مثال : جواب معادله ديفرانسيل img را در مجاورت نقطه x0 به صورت سري تواني بنويسيد.
حل : در اين مسئله p(x)=x و q(x)=1 بنابر اين جواب معادله بصورت زیر خواهد بود.

img


در نتيجه اگر معادلات

img

و

img


را در معادله ديفرانسيل اصلی قرار مي دهيم خواهيم داشت .

img


از اين جا نتيجه ميشود كه همه ضرايب سري بايد صفر باشد يعني

img

img


مثال : معادله ديفرانسيل img را حل كنيد و x را طوري به دست آوريد كه در روابط زیر صدق کند.

img


پاسخ

img


يا

img
img


از اين جا نتيجه مي شود:

img


مثال :معادله ديفرانسيل زير را در مجاورت x0 = 1 حل كنيد .

img


حل : جواب بصورت يك سري تواني از x-1 مي باشد .يعني

img


در نتيجه

img

img


و براي k>=2 داريم :

img


تعريف : نقطه x0 را يك نقطه تكين منظم معادله img مي ناميم هرگاه x0 يك نقطه تكين معادله بوده و تابع img در x0 تحليلي باشد. اگر حد اقل يكي از دو تابع در x0 تحليلي نباشد آنگاه x0 را يك نقطه تكين نامنظم ناميده مي شود .

حل يك دستگاه معادله ديفرانسيل :
قبلا با دستگاههای معادلات دیفرانسیل اشنا شده اید حال به حل چند مثال از این نوع خواهیم پرداخت
مثال :دستگاه زیر را حل كنيد :

img


حل :

img


مثال : دستگاه زير را حل كنيد :

img


حل :

img
img


وحل اين معادله ديفرانسيل عبارت است از

img


كه اگر در معادله قبلي جايگزين كنيم خواهيم داشت.

img


حال انتگرال مي گيريم

img


با جا گذاري در معادله اول داريم :

img


بعد از عمل كردن D

img


تمرين: دستگاه معادلات ديفرانسيل زير را حل كنيد .

img

تاریخ بروزرسانی
1400/04/22



advertise
adverse1
adverse1
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است