به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

>> مشتق >> نقاط اکسترمم

کاربرد اکسترمم


درسنامه

در این مبحث, مسایلی را مورد بحث قرار میدهیم که جواب آنها اکسترمم مطلق یک تابع روی یک بازه بسته است. در این مسایل از قضیه اکسترمم استفاده می شود که وجود یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق را برای تابعی روی یک بازه بسته تضمین میکند، به شرطی که تابع روی آن بازه بسته پیوسته باشد. این روش را با چند مثال نمایش میدهیم.
مثال 1: یک سازنده جعبه، می خواهد از تکه مقواهایی که باید بریده شوند برابر12 اینچ مربع با بریدن چهار مربع متساوی از چهار گوشه هریک، و بالازدن جوانب آن , جعبه سرباز بسازد. طول ضلع مربع هایی که باید بریده شوند چقدر باشد تا حجم جعبه به حداکثر ممکن برسد؟
حل: فرض کنید طول ضلع هریک از مربع هایی که باید بریده شوند چقدر باشد تا حجم جعبه اینج مکعب باشد. طول ابعاد جعبه, برحسب اینج برابر است با نقاط اکسترمم ، نقاط اکسترمم , نقاط اکسترمم . شکل زیر یک تکه مقوای داده شده را نشان می دهد

نقاط اکسترمم


و شکل زیر جعبه مطلوب را.

نقاط اکسترمم


حجم جعبه برابر حاصلضرب سه بعد آن است لذا

نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم

مقدار نقاط اکسترمم مورد نظر در بازه بسته نقاط اکسترمم قرار دارد. چون نقاط اکسترمم روی بازه بسته نقاط اکسترمم پیوسته است, از قضیه اکسترمم نتیجه می شود که روی این بازه نقاط اکسترمم دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق است. همچنین میدانیم که این مقدار ماکسیمم مطلق یا به ازای یک عدد بحرانی به دست می آید و یا به ازای یکی از نقاط انتهایی. برای محاسبه اعداد بحرانی نقاط اکسترمم ابتدا نقاط اکسترمم را محاسبه مکنیم و حالاتی که نقاط اکسترمم یا نقاط اکسترمم وجود ندارد را به دست میآوریم . از معادله قبل داریم:

نقاط اکسترمم

بنابراین

نقاط اکسترمم

نقاط اکسترمم به ازای تمام مقادیر نقاط اکسترمم وجود دارد. اگر نقاط اکسترمم و از آن نتیجه می شود. که نقاط اکسترمم. اعداد بحرانی نقاط اکسترمم عبارتند از 2 و 6 و هر دو در بازه بسته نقاط اکسترمم هستند. مقدار ماکسیمم مطلق نقاط اکسترمم یا به ازای یک عدد بحرانی به دست می آید و یا به ازای یکی از نقاط انتهایی چون نقاط اکسترمم و مقدار ماکسیمم مطلق نقاط اکسترمم روی نقاط اکسترمم عدد 128 است که در 2 به دست می آید. پس بیشترین حجم ممکن 128 اینچ مکعب است و این مقدار وقتی به دست می اید که طول ضلع مربع هایی که باید بریده شوند برابر با 2 اینج باشد.
مثال 2: دو نقطه نقاط اکسترمم و نقاط اکسترمم در دو طرف یک رودخانه مستقیم به عرض 3 کیلومتر مقابل هم قرار دارند. نقطه نقاط اکسترمم که 2 کیلومتر از نقطه نقاط اکسترمم فاصله دارد, در همان طرف از رودخانه واقع است که نقطه نقاط اکسترمم . یک شرکت تلفن میخواهد از نقاط اکسترمم به نقاط اکسترمم کابل بکشد. اگر هزینه هرکیلومتر کابل در زیر آب 25 درصد بیش از هزینه کابل روی زمین باشد. کدام خط کابل برای شرکت مقرون به صرفه تر است.
حل: به شکل زیر رجوع کنید.

نقاط اکسترمم

فرض کنید نقطه ای چون نقاط اکسترمم واقع در ساحل مشترک نقاط اکسترمم و نقاط اکسترمم بین نقاط اکسترممو نقاط اکسترمم در جایی است که کابل از نقاط اکسترمم به نقاط اکسترمم و از آنجا به نقاط اکسترمم میرود . و فرض کنید فاصله بین نقاط اکسترمم تا نقاط اکسترمم , نقاط اکسترمم کیلومتر باشد. پس فاصله بین نقاط اکسترمم تا نقاط اکسترمم , نقاط اکسترمم کیلومتر است و نقاط اکسترمم . فرض کنید هزینه هر کیلومتر کابل روی زمین نقاط اکسترمم تومان و هزینه هرکیلومتر کابل زیر اب نقاط اکسترمم تومان باشد ( نقاط اکسترمم مقداری ثابت). اگر نقاط اکسترمم تومان کل هزینه کابل از نقاط اکسترمم تا نقاط اکسترمم و از نقاط اکسترمم تا نقاط اکسترمم باشد. داریم. نقاط اکسترمم چون نقاط اکسترمم بر نقاط اکسترمم پیوسته است، می توانیم از قضیه اکسترمم استفاده کنیم، لذا روی نقاط اکسترمم هم مقدار ماکسیمم مطلق دارد و هم مقدار مینیمم مطلق. در اینجا منظور ما یافتن مقدار مینیمم مطلق است.

نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم

به ازای همه مقادیر نقاط اکسترمم وجود دارد. اگر بنویسیم نقاط اکسترمم و معادله را نسبت به نقاط اکسترمم حل کنیم داریم

نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم

عدد 4- یک ریشه اضافی معادله بالا است و 4- هم در بازه نقاط اکسترمم قرار ندارد. بنابراین عدد c در نقاط اکسترمم نیست. لذا مقدار مینیمم مطلق c بر نقاط اکسترمم باید به ازای یکی از نقاط انتهایی بازه به دست آید. حال نقاط اکسترمم و نقاط اکسترمم را محاسبه می کنیم

نقاط اکسترمم
نقاط اکسترمم

چون مقدار نقاط اکسترمم مقدار مینیمم مطلق C روی نقاط اکسترمم عدد نقاط اکسترمم است که به ازای نقاط اکسترمم به دست میآید. پس، برای صرف کمترین هزینه باید کابل در زیر آب و به طور مستقیم از A تا C کشیده شود



تاریخ ایجاد 1399/01/06


نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است