به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> ریاضی عمومی >> پیوستگی تابع در یک عدد( نقطه)

پیوستگی تابع در یک عدد( نقطه)


درسنامه

پیوستگی تابع در یک عدد( نقطه) در بخش قبل تابع Equation را که به صورت Equation تعریف شده بود, درنظر گرفتیم تابع Equation برای تمام مقادیر Equation بجز 1 معین است. شکل زیر نمودار Equation را نشان میدهد
Equation
این نمودار از تمام نقاط خط Equation بجز نقطه Equation تشکیل شده است. مشاهده میشود که در نقطه Equationیک شکستگی در نمودار Equation وجود دارد و گوییم که تابع Equation در نقطه به طول 1 ناپیوسته است. حال اگر تعریف کنیم که Equation تابع Equation برای تمام مقادیر Equation تعریف شده باشد ولی باز هم در نمودار تابع یک شکستگی وجود دارد و هنوز هم تابع Equation در بازه 1 ناپیوسته است ولی اگر Equation را برابر 5 تعریف کنیم, دیگر در نمودار شکستگی وجود ندارد و گوییم تابع به ازای تمام مقادیر پیوسته است.
تعریف 1 : تابع Equation را در عدد Equation پیوسته گوییم اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشد:
1 - Equation وجود داشته باشد
2 - Equation وجود داشته باشد
3 - Equation
اگر یک یا چند شرط از شرایط فوق برقرار باشد, گوییم تابع f در a پیوسته است.
اکنون چند نمونه از توابع ناپیوسته را بررسی میکنیم. در هرنمونه, نمودار تابع را رسم کرده نقاط شکستگی نمودار را تعین میکنیم و نشان میدهیم که در هر ناپیوستگی, کدامیک از سه شرط فوق برقرار نیست.
نمونه 1 : فرض کنید تابع Equation به صورت زیر تعریف شده است. Equation شکل زیر نمودار این تابع را نشان میدهد. مشاهده میشود که یک شکستگی در نمودار در نقطه Equation وجود دارد, حال سه شرط تعریف فوق را بیان میکنیم.
داریمEquation , بنابراین شرط 1 برقرار است
داریم Equation , بنابراین شرط 2برقرار است.
داریم Equation, اما
Equation , بنابراین شرط3 برقرار نیست.
پس تابع در نقطه ای به طول 1 ناپیوسته است.
دقت کنید که اگر در نمونه1 , Equation رابرابر 5 تعریف کنیم , انگاه Equation , و تابعf در 1 پیوسته خواهد بود..
نمونه 2: فرض کنید تابع Equation به صورت Equation تعریف شده است را درنظر بگیرید. شکل زیر نمودار تابع Equation را نشان میدهد.
Equation
در نمودار Equation در نقطه به طول 2 شکستگی وجود دارد. حال سه شرط تعریف را بررسی میکنیم. چون Equation تعریف شده است , شرط 1برقرار نیست و بنابراین, تابع در 2 ناپیوسته است.
نمونه 3: فرض کنید تابع Equation به صورت زیر تعریف شده است.
Equation
نمودار Equation در شکل زیر تعریف شده است .
Equation
سه شرط تعریف را در عدد 2 بررسی میکنیم Equation لذا شرط 1 برقرار است.
Equation و Equation بنابراین , شرط 2 برقرار نیست. لذا Equation در 2 ناپیوسته است.
نمونه 4: فرض کنید Equation به صورت Equation شکل زیر نمودار1 را نشان میدهد.
Equation
چون در نمودار در نقطه Equation شکستگی وجود دارد. سه شرط تعریف را برای Equation بررسی میکنیم .
داریم Equation بنابراین شرط 1برقرار است و Equation و Equation چون Equation نتیجه میگیریم که Equation وجود ندارد از اینرو شرط 2بنابراین تابع Equation در1 ناپیوسته است
بعد از نمونه 1 تذکر دادیم که اگر Equation را برابر 5 تعریف کنیم انگاه تابع Equation در عدد 1 پیوسته خواهد بود. این مطلب مفهوم ناپیوستگی رفع شدنی را نشان میدهد.
به طور کلی فرض کنید Equation تابعی است که در عدد Equation ناپیوسته است ولی Equation وجود دارد. در اینصورت Equation و یا Equation وجود ندارد. یک چنین ناپیوستگی را رفع شدنی میگوییم زیرا اگر Equation را در Equation طوری تعریف کنیم که Equation بنابراین تابع مورد نظر در Equation پیوسته می شود. اگر ناپیوستگی رفع شدنی نباشد آنرا ناپیوستگی اساسی مینامیم.

قضایایی درباره پیوستگی
با استفاده از تعریف و قضایای حدی قضیه زیر در مورد توابعی که در یک عدد پیوسته هستند به دست میآید.
قضیه 1 : اگر توابع Equation و Equation در عدد Equation پیوسته باشند انگاه
1 - تابع Equation در Equation پیوسته است.
2 - تابع Equation در Equation پیوسته است.
3 - تابع Equation در Equation پیوسته است.
4 - تابع Equation در Equation پیوسته است به شرطی که Equation
برای نشان دادن نوع اثباتی که برای هر قسمت این قضیه لازم است 1 را ثابت میکنیم. چون Equation و Equation در عدد Equation پیوسته هستند بنا به تعریف داریم
(1)Equation
و
(2)Equation
بنا براین طبق قضیه حدی 1 و معادلات (1) و (2) داریم
(3) Equation
اما معادله (3) شرط پیوستگی Equation در Equation است و بنابران اثبات قسمت به انجام میرسد.
قضیه 2 : تابع چند جمله ای در هر عدد پیوسته است.
مثال 1 : اگرEquation انگاه Equation یک تابع چند جمله ای است و بنابراین با استناد به قضیه فوق در هر عددی پیوسته است.
قضیه 3: تابع گویا در هر عدد از قلمرو خود پیوسته است.
مثال 2 : فرض کنید Equation همه مقادیری ازEquation را بیابید که به ازای انها Equation پیوسته است.
حل: قلمرو Equation مجموعه همه اعداد حقیقی است بجز اعدادی که به ازای انها Equation چون Equation وقتی Equation نتیجه می شود که قلمرو مجموعه Equation همه اعداد حقیقی بجز Equation است.
قضیه 4 : فرض کنید Equation و Equation عددی صحیح مثبت و دلخواهی است. در اینصورت Equation در Equation پیوسته است اگر یکی از دو حالت زیر برقرار باشد.
1 - Equation عدد مثبت و دلخواهی باشد.
2 - Equationعددی منفی با صفر باشد و Equation فرد باشد.
مثال 3:
(الف) اگر Equation انگاه از قضیه قبلی فرمول 1 نتیجه می شود که Equation به ازای هر عدد مثبتی پیوسته است.
ب) اگر Equation از قضیه 4 بخش 1 و 2 نتیجه می شود که Equation به ازای هر عدد حقیقی پیوسته است.
قضیه 5: تابع Equation در Equation پیوسته است اگر Equation در یک بازه شامل Equation تعریف شده باشد و برای هر Equation یک Equation وجود داشته باشدکه وقتی Equation این قضیه برای اثبات قضیه مهم زیر در مورد حد تابع مرکب به کار میرود.
قضیه6 : اگر داشته باشیم Equation اگر تابع Equation در Equation پیوسته باشد. انگاه Equation و به عبارت دیگر Equation
مثال 4:با استفاده از قضیه حدی 6 حد زیر را بیابید.
Equation
حل: درابتدا تابع موجود را به صورت دو تابع Equation در نظر میگیریم حال Equation را به صورت حاصلضرب Equation و Equation در نظر میگیریم و قضیه حدی 6 ( درمود حاصلضرب) را به کار می بریم. قبل از هرچیز باید Equation را پیدا کنیم. برای این کار Equation را به صورت مقدار یک تابع مرکب درنظر میگیریم . اگر تابع Equation به صورت Equation تعریف شده باشد آنگاه تابع مرکب Equation به صورت Equation تعریف میشود. اما داریم Equation برای استفاده از قضیه تابع باید در عدد 13 پیوسته باشد که درستی این موضوع از قضیه نتیجه میشود پس
Equation
Equation
قضیه حدی 7 : اگر Equation و اگر Equation و Equation آنگاه
Equation
مثال 5: حد زیر را محاسبه کنید
Equation
حل: فرض میکنیم توابع Equation و Equation به صورت زیر تعریف شده اند Equation در اینصورت تابع مرکب Equation به صورت زیر تعریف می شود.
Equation
پس برای استفاده از قضیه در مورد تابع مرکب Equation باید در 16 پیوسته باشد که صحت این امر از قضیه نتیجه میشود پس راه حل به این صورت است
Equation
قضیه حدی 8: اگر Equation انگاه Equation که در آن اگر Equation هر عدد طبیعی می تواند باشد و اگر Equation عدد صحیح فرد مثبتی است.
قضیه حدی 9 : اگر تابع Equation در Equation پیوسته باشد و تابع Equation در Equation پیوسته باشد . انگاه تابع مرکب Equation در Equation پیوسته است.
مثال 6: فرض کنید Equation مقادیر برای Equation بیابید که به ازای آنها Equation پیوسته باشد.
حل: فرض میکنیم Equation و Equation توابعی باشند که به صورت زیر تعریف میشوند Equation قلمرو Equation اعداد نامنفی است و قلمرو Equation محموعه همه اعداد حقیقی بجز 3- است
Equation
Equation
پس میخواهیم قلمرو Equation را تعیین کنیم قلمرو Equation مجموعه همه اعدادی است که به ازای انها Equation نامنفی باشد یعنی همه اعدادی که به ازای انها داتشه باشیم :
(11) Equation
برای تعین مقادیری از Equation که در (11) صدق میکنند به جدول زیر مراجعه میکنیم. در این جدول بازه هایی را درنظر میگیریم که برای انها Equation و Equation و Equation زیرا صورت کسر به ازای Equation تغیر علامت میدهد. و مخرج کسر به ازای Equation با توجه به این جدول ملاحظه میکنیم که Equation در صورتی وجود دارد که Equation در بازه نیمباز از طرف چپ Equation باشد لذا این بازه قلمرو Equation است. بنا به قضیه Equation در هر عدد از قلمرو اش پیوسته است یعنی به ازای همه اعداد بجز 3- تابع Equation به ازای همه اعداد مثبت پیوسته است. بنابراین از قضیه نتیجه میشود که Equation در همه مقادیر که پیوسته است و
(12) Equation
با توجه به جدول فوق این مقادیر اعداد واقع در بازه باز Equationهستند.

Equation Equation Equation Equation
وجود ندارد - - + Equation
وجود ندارد نامعین 0 5 Equation
+ + + + Equation
وچود ندارد - + - Equation



تاریخ ویرایش1397/07/13



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است