به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>>ریاضی عمومی >> حد در بينهايت

حد در بینهایت


حد در بینهایت

تابع Equation را که با ضابطه Equation تعریف میشود را در نظر بگیرید نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.
Equation
فرض کنید Equation مقادیر 10 و 100 و 1000 و مانند اینها را اختیار کند, و به طور بیکران افزایش یابد. ملاحظه می شود که درحالی که Equation با مقادیر مثبت افزایش پیدا می یابد, مقادیر تابع Equation به 2 نزدیک و نزدیکتر می شوند. بخصوص وقتی, Equation اگر به این کار ادامه دهیم, بطور شهودی ملاحظه میکنیم که مقادیر Equation را میتوانیم به دلخواه به 2 نزدیک کنیم به شرطی که Equation بزرگتر از یک عدد مثبت به اندازه کافی بزرگ, اختیار شود. و یا با یک گام پیشروی برای هر Equation , هرقدر که کوچک باشد, میتوانیم یک عدد Equation پیدا کنیم که وقتی Equation , داشته باشیم Equation وقتی یک متغیر مستقل مانند x به طور بیکران با مقادیر مثبت افزایش می یابد, مینویسیم Equation بنابراین, با توجه به مثال توضیحی فوق, میتوان نوشت Equation

تعریف 1: فرض کنید f تابعی باشد که به ازای هر عدد در بازه ای مانند Equation تعریف شده است. می گوئیم حد تابع Equation وقتی به طور بیکران افزایش می یابد برابربا عددL است و مینویسیم :
(1) Equation
اگر برای هر Equation, هر قدر کوچک, یک عدد Equation وجود داشته باشد. که وقتی Equation دقت کنید که مقادیر این تابع به ازای اعداد منفی با مقادیر آن به ازای اعداد مثبت متناظر برابر است. پس, به طور شهودی ملاحظه می کنیم که وقتیx به طور بیکران کاهش می یابد, Equation به سمت 2 میل میکند یعنی |f(x)-2|, را میتوان به قدر کافی کوچک اختیار کرد, به این طریق کهx را عددی کوچکتر از یک عدد منفی درنظر بکیریم که قدر مطلق آن به اندازه کافی بزرگ باشد. به طور رسمی می گوییم برای هر ε>0, هرقدر که کوچک باشد, میتوان یک عدد N<0یافت که وقتی N>x, داشته باشیم Equation . با استفاده از علامت Equation برای نشان دادن این امر که متغیرx به طور بیکران کاهش می یابد مینویسیم
(2) Equation
اگر برای هر ε>0, هر قدر کوچک , یک عدد N<0 وجود داشته باشد که وقتی Equation
قضیه حدی: اگر عدد صحیح و مثبتی باشد آنگاه
(i) Equation
(ii) Equation
مثال 1: عبارات زیر را محاسبه کنید
Equation
حل: برای استفاده از قضیه حدی, صورت و مخرج کسر را برx تقسیم میکنیم و به دست می اوریم
Equation
مثال 2: عبارات زیر را محاسبه کنید
Equation
حل: صورت و مخرج کسر را برx تقسیم میکنیم. در مخرج فرض میکنیم Equation زیرا تنها مقادیر مثبت x مورد نظر ما هستند
Equation
مثال 3: عبارت زیر را محاسبه نمائید
Equation
حل:
Equation
بنابراین, حد مخرج صفر است . مخرج با مقادیر مثبت به سمت صفر میل میکند حد صورت برابر 1 است و لذا بنا به قضیه حدی 12 (i) نتیجه می شود که
Equation
تعریف گفته میشود خط y=b یک مجانب افقی نمودار تابع f است اگر دست کم یکی از عبارات زیر درست باشد .
Equation و به ازای یک عدد Equation وقتی Equation
Equationو به ازای یک عدد Equation وقتیEquation
نمونه 1: در هریک از شکلهای زیر قسمتی از نمودار تابعی نشان داده شده است که خط y=b برای آن یک مجانب افقی است
Equation Equation Equation Equation
مثال 4 : مجانبهای افقی نمودار تابع Equation را بیابید و نمودارش را رسم کنید
حل : ابتدا Equation را درنظر میگیریم Equation برای محاسبه این حد مینویسیم Equation و Equation صورت و مخرج را بر Equation تقسیم میکنیم
Equation
پس بنا به تعریف(i) خط y=1یک مجانب افقی است اکنون Equation را در نظر بگیریم در این حالت مینویسیم Equation زیرا اگر Equation صورت و مخرج با استفاده از Equationتبدیل میکنیم لذا
Equation
پس بنا به تعریف (ii) خط y=1 یک مجانب افقی است. نمودار در شکل زیر رسم شده است
Equation
مثال 5: مجانبهای افقی و قائم نمودار تابع Equation نمودار تابع را رسم کنید
حل
Equation
بنا بر این
(1) Equation
(2) Equation
اگر در صورت و مخرج کسر را تجزیه کنیم داریم Equation چهار حد Equation, Equation, Equation, Equation را در نظر بگیریم
برای محاسبه Equation ملاحظه کنید که
Equation و Equation که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر مثبت به سمت صقر میل میکند لذا بنا به قضیه حدی 12 (i) داریم
Equation
چون Equation و Equation که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر منفی به سمت صفر میل میکند, از قضیه حدی 12 (ii) نتیجه می شود که Equation
با استفاده از قضیه حدی 12 (iv) , f(x) را محاسبه میکنیم
چون Equation و Equation که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر منفی به سمت صفر میل میکند, پس (5) Equation
چون Equation و Equation که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر مثبت به سمت صفر میل میکند, با توجه به قضیه حدی 12 (iii) داریم (6) Equation
از (1) و (2) و تعریف این نتیحه به دست می آید که خط Equation یک مجانب افقی نمودارf است. (3) تا (6) و تعریف نتیجه می شود که خطوط Equation مجانبهای قائم نمودار هستند . با توجه به معادله داده شده, نمودار f شامل نقاط (5,5) و (4,5) است معدودی از نقاط دیگر را مشخص میکنیم و از اطلاعاتی که در (1) و (6) نهفته است بهره میگیریم تا نموداری که شکل زیر نشان داده شده, را ایجاد کنیم.
مثال6: با استفاده از تعریف ثابت کنید. Equation
حل: به ازای هر N>0 باید δ>0 را طوری تعین کنیم که داشته باشیم Equation وقتی که Equation و یا (1) Equation وقتی که Equation حال با انتخاب Equation مناسب یک کران بالا برای Equation تعین میکیم اگر Equation اختیار شود میتوان نوشت Equation و یا به عبارت دیگر Equation با استفاده از 1 و 2 داریم Equation و با استفاده از 3 و Equation کافی است که Equation اختیار شود
مثال7: حد تابع Equation وقتی x به سمت 1 میل میکند را بیابید.
حل: چونEquation داریم Equation اگر Equation بنابراین Equation و Equation و چون Equation پس مخرج با مقادیر منفی Equation به سمت صفر میل میکند و در نتیجه Equation
مثال 8: مجانبهای تابع Equation را بیابید
حل: چون با تبدیل Equation به Equation معادله عوض نمی شود پس نمودار تابع نسبت به محورEquationها متقارن است. ابتدا نمودار تابع را برای Equation رسم کرده و سپس با استفاده از خاصیت تقارن شکل را کامل میکنیم
Equation
در نتیجه Equation مجانب افقی تابع می باشد . چون Equation اگر Equation باشد . بنابراین خط Equation ممکن است مجانب قائم تابع باشد و چون
Equation
پس خط Equation مجانب قائم بوده و منحنی نمودار تابع از سمت راست به این مجانب میل خواهد کرد. از طرف دیگر چون Equation نتیجه میدهد که منحنی نمودار تابع از سمت چپ به این مجانب میل خواهد کرد. و چون Equation لذا منحنی از مبدا نیز میگذرد.
Equation Equation



1397/07/13 تاریخ ویرایش



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است