به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> مشتق >> ماکزیمم و مینیمم توابع

ماکزیمم و مینیمم توابع


درسنامه

قبلا دیده ایم که تعبیر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه عبارت است از ضریب زاویه خط مماس نمودار تابع در آن نقطه. این مطلب ما را قادر می سازد در رسم نمودار از مشتق کمک بگیریم. مثلا برای تعیین نقاطی که در آنها خط مماس بر نمودار افقی است از مشتق می توان استفاده کرد, زیرا مشتق تابع در اینگونه نقاط برابر صفر است. همچنین جهت تعیین بازه هایی که در آن بازه ها نمودار یک تابع با لایخط مماس است, و بازه هایی که در آن بازه ها نمودار پایین خط مماس قرار میگیرد, میتوان از مشتق استفاده کرد. قبل از اینکه از مشتق برای رسم نمودار استفاده کنیم به چند تعریف و قضیه نیاز داریم.
تعریف 1 : گوییم تابع ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک مقدار ماکسیمم نسبی است اگر یک بازه باز شامل ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد که ماکزیمم و مینیمم توابع روی آن تعریف بشود, و به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع واقع در آن بازه, ماکزیمم و مینیمم توابع.
شکل زیر هر کدام قسمتی از نمودار یک تابع را نشان می دهد که دارای یک ماکسیمم نسبی است.
ماکزیمم و مینیمم توابع ماکزیمم و مینیمم توابع
تعریف 2: گوییم تابع ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک مقدار مینیمم نسبی است اگر یک بازه باز شامل ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد که ماکزیمم و مینیمم توابع روی آن تعریف بشود, و به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع واقع در آن بازه, ماکزیمم و مینیمم توابع .
شکلهای زیر هر کدام قسمتی از نمودار تابعی را نشان می دهد که در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک مینیمم نسبی است. اگر تابع ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع یک مقدار ماکسیمم نسبی با یک مقدار مینیمم نسبی داشته باشد, گوییم ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک اکسترمم نسبی است.
جهت پیدا کردن مقادیر ممکن ماکزیمم و مینیمم توابع که به ازای آنها اکسترمم نسبی وجود داشته باشد, از قضیه زیر استفاده می شود.
قضیه1: فرض کنید ماکزیمم و مینیمم توابع به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع در بازه باز ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد و ماکزیمم و مینیمم توابع. اگر ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارا یک اکسترمم نسبی باشد و ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد, آنگاه . ماکزیمم و مینیمم توابع
تعبیر هندسی قضیه این است که اگر ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک اکسترمم نسبی باشد و نیز ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد, آنگاه نمودار ماکزیمم و مینیمم توابع در نقطه ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک خط مماس افقی است.
اگر ماکزیمم و مینیمم توابع یک تابع مشتق پذیر باشد, آنگاه تنها به ازای ماکزیمم و مینیمم توابع هایی که ماکزیمم و مینیمم توابع در انها مساوی با صفر است تابع ماکزیمم و مینیمم توابع ممکن است اکسترم نسبی داشته باشد, با وجود این ممکن هم هست که به ازای مقدار خاصی از ماکزیمم و مینیمم توابع , ماکزیمم و مینیمم توابع و در عین حال در آنجا دارای اکسترمم نباشد. این نکته در نمونه زیر نشان داده شده است.
مثال 1 – فرض کنید تابع ماکزیمم و مینیمم توابع به صورت زیر تعریف شده است
ماکزیمم و مینیمم توابع
شکل زیر نمودار این تابع را نشان میدهد. داریم ماکزیمم و مینیمم توابع و بنا براین ماکزیمم و مینیمم توابع. اما برای ماکزیمم و مینیمم توابع داریم ماکزیمم و مینیمم توابع و برای ماکزیمم و مینیمم توابع داریم ماکزیمم و مینیمم توابع لذا در 1 اکسترمم نسبی ندارد.
ماکزیمم و مینیمم توابع
ممکن است تابعی مانند ماکزیمم و مینیمم توابع در عددی دارای اکسترمم نسبی باشد ولی ماکزیمم و مینیمم توابع در آن عدد وجود نداشته باشد. این مورد در نمونه 2 نشان داده شده است.
مثال 2 – فرض کنید تابع ماکزیمم و مینیمم توابع به صورت زیر تعریف شده باشد.
ماکزیمم و مینیمم توابع
شکل زیر نمودار این تابع را نشان می دهد. تابع ماکزیمم و مینیمم توابع در 3 دارای یک ماکسیمم نسبی است. مشتق چپ در 3 برابر است با ماکزیمم و مینیمم توابع , و مشق راست در 3 برابر است با ماکزیمم و مینیمم توابع. پس نتیجه میگیریم که ماکزیمم و مینیمم توابع وجود ندارد.
ماکزیمم و مینیمم توابع
مثال 3 – نشان میدهد که چرا شرط ماکزیمم و مینیمم توابع وجود داشته باشد, باید یکی از فرض های قضیه باشد. پس به طور خلاصه, اگر به ازای عددی چون ماکزیمم و مینیمم توابع معیین باشد, یک شرط لازم برای اینکه ماکزیمم و مینیمم توابع در ماکزیمم و مینیمم توابع دارای اکسترمم نسبی باشد این است که با ماکزیمم و مینیمم توابع ؛ و یا ماکزیمم و مینیمم توابع وجود نداشته باشد. اما این شرط کافی نیست.
تعریف 3: اگر عددی از قلمرو تابع ماکزیمم و مینیمم توابع باشد. گوییم ماکزیمم و مینیمم توابع یک عدد بحرانی است هرگاه یا ماکزیمم و مینیمم توابع و یا ماکزیمم و مینیمم توابع وجود نداشته باشد. طبق این تعریف و بحث قبلی, یک شرط لازم برای اینکه تابعی در عددی چون ماکزیمم و مینیمم توابع دارای یک اکسترمم نسبی باشد این است که یک عدد بحرانی ماکزیمم و مینیمم توابع باشد.
مثال 4 – تابع ماکزیمم و مینیمم توابع به صورت ماکزیمم و مینیمم توابع داده شده است. اعداد بحرانی ماکزیمم و مینیمم توابع را پیدا کنید.
حل:
ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع
پس ماکزیمم و مینیمم توابع وقتی که ماکزیمم و مینیمم توابع , و برای ماکزیمم و مینیمم توابع, ماکزیمم و مینیمم توابع وجود ندارد.
تعریف4: گوییم تابع ماکزیمم و مینیمم توابع بر بازه ای دارای یک مقدار ماکزیمم مطلق است هرگاه عددی مانند ماکزیمم و مینیمم توابع در آن بازه باشد که به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع متعلق به آن بازه داشته باشیم ماکزیمم و مینیمم توابع در این صورت مقدار ماکسیمم مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع روی آن بازه ماکزیمم و مینیمم توابع است.
تعریف 5: گوییم تابع ماکزیمم و مینیمم توابع بر بازه ای دارای یک مقدار مینمم مطلق است هرگاه عددی مانند ماکزیمم و مینیمم توابع در آن بازه باشد که به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع متعلق به ان بازه داشته باشیم ماکزیمم و مینیمم توابع . در این صورت مقدار مینیمم مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع روی آن بازه ماکزیمم و مینیمم توابع است.
اکسترمم مطلق یک تابع در یک بازه, ماکزیمم مطلق و یا مینیم مطلق آن تابع روی آن بازه است. یک تابع ممکن است دارای اکسترمم مطلق باشد یا نباشد. در نمونه های زیر تابع و یک بازه داده شده اند و اکسترمم ها مطلق درصورت وجود تعیین می شوند.
مثال 5 – فرض کنید تابع ماکزیمم و مینیمم توابع به صورت زیر تعریف شده باشد
ماکزیمم و مینیمم توابع
شکل زیر نمودار ماکزیمم و مینیمم توابع روی بازه ماکزیمم و مینیمم توابع را نمایش میدهد.
ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع تابع, مقدار مینیمم مطلقی برابر با 2 دارد. اما ماکزیمم و مینیمم توابع بر ماکزیمم و مینیمم توابع مقدار ماکزیمم مطلق ندارد, ماکزیمم و مینیمم توابع, ولی روی بازه مفروض, ماکزیمم و مینیمم توابع همواره کمتر از 8 است.
مثال 6 – تابع ماکزیمم و مینیمم توابع به صورت زیر تعریف شده است
ماکزیمم و مینیمم توابع
نمودار ماکزیمم و مینیمم توابع بر ماکزیمم و مینیمم توابع در شکل زیر رسم شده است. مقدار ماکزیمم مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع روی ماکزیمم و مینیمم توابع به ازای 1 به دست می آید و ماکزیمم و مینیمم توابع به مقدار مینیمم مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع روی ماکزیمم و مینیمم توابع به ازای ماکزیمم و مینیمم توابع به دست می آید و ماکزیمم و مینیمم توابع
دقت کنید که ماکزیمم و مینیمم توابع در 1 دارای یک مقدار ماکسیمم نسبی و در 3 دارای یک مقدار مینیمم نسبی است. همچنین مشاهده کنید که 1 یک عدد بحرانی ماکزیمم و مینیمم توابع است زیرا ماکزیمم و مینیمم توابع در 1 وجود ندارد 3 یک عدد بحرانی است زیرا ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع
تعریف 6: گوییم ماکزیمم و مینیمم توابع مقدار ماکسیمم مطلق تابع ماکزیمم و مینیمم توابع است هرگاه ماکزیمم و مینیمم توابع در قلمرو ماکزیمم و مینیمم توابع باشد و به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع در قلمرو ماکزیمم و مینیمم توابع, ماکزیمم و مینیمم توابع
تعریف 7: گوییم ماکزیمم و مینیمم توابع مقدار مینیمم مطلق تابع ماکزیمم و مینیمم توابع است هرگاه ماکزیمم و مینیمم توابع در قلمرو ماکزیمم و مینیمم توابع باشد و به ازای هر ماکزیمم و مینیمم توابع در قلمرو ماکزیمم و مینیمم توابع, ماکزیمم و مینیمم توابع
مثال 7 – نمودار تابع ماکزیمم و مینیمم توابع با ضابطه ماکزیمم و مینیمم توابع یک سهمی است که در شکل زیر رسم شده است. پائین ترین نقطه سهمی ماکزیمم و مینیمم توابع است و دهانه آن به طرف بالا است. تابع دارای مقدار مینیمم مطلقی برابر 4 است که به ازای 2 به دست می آید . ماکزیمم و مینیمم توابع ماکسیمم مطلق ندارد.
با مراجعه به نمونه های قبلی میبینیم تنها موردی که هم مقدار ماکسیمم مطلق و هم مقدار مینیمم مطلق وجود دارد نمونه 6 است که در آن تابع روی بازه بسته ماکزیمم و مینیمم توابع پیوسته است در نمونه های دیگر یا بازه بسته نیست یا اگر تابعی روی بازه بسته ای پیوسته باشد, قضیه ای بنام اکسترمم تضمین میکند که روی آن بازه تابع هم یک مقدار ماکسیمم مطلق دارد و هم یک مقدار مینیمم مطلق.
قضیه2 (قضیه اکسترمم): اگر تابع ماکزیمم و مینیمم توابع روی بازه بسته ماکزیمم و مینیمم توابع پیوسته باشد, انگاه روی ماکزیمم و مینیمم توابع یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق دارد.
قضیه 3: حاکی از آن است که پیوستگی یک تابع روی یک بازه بسته, شرطی است کافی برای تضمین این نکته که تابع روی آن بازه هم مقدار ماکسیمم مطلق داشته باشد و هم مقدار مینیمم مطلق.
با این وجود, این شرط یک شرط لازم نیست. مثلا, تابعی که نمودارش در شکل زیر رسم شده است, گرچه روی بازه باز ماکزیمم و مینیمم توابع ناپیوسته است ولی در ماکزیمم و مینیمم توابع یک مقدار ماکسیمم مطلق دارد. و یک مقدار مینیمم مطلق هم در ماکزیمم و مینیمم توابع دارد.
ماکزیمم و مینیمم توابع
اکسترمم مطلق یک تابع که بر یک بازه بسته پیوسته است باید یک اکسترمم نسبی باشد و یا مقدار تابع به ازای یکی از نقاط انتهایی بازه. چون یک شرط لازم برای اینکه تابعی در عددی مثل ماکزیمم و مینیمم توابع یک اکسترمم نسبی داشته باشد, این است که ماکزیمم و مینیمم توابع یک عدد بحرانی تابع باشد.
پس مقدار ماکسیمم مطلق و مقدار مینیمم مطلق یک تابع پیوسته ماکزیمم و مینیمم توابع روی یک بازه بسته ماکزیمم و مینیمم توابع را می توان با دستور العمل زیر به دست اورد:
1. مقدار تابع را به ازای اعداد ماکزیمم و مینیمم توابع روی ماکزیمم و مینیمم توابع به دست اورید.
2. مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع و ماکزیمم و مینیمم توابع را بیابید. بزرگترین مقدار به دست امده در مراحل 1و 2 مقدار ماکسیمم مطلق و کوچکترین مقدار به دست آمده در مراحل 1 و 2 مثدار مینیمم مطلق است.
مثال 8: اگر ماکزیمم و مینیمم توابع اکسترمم های مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع روی ماکزیمم و مینیمم توابع را به دست اورید.
حل: چون ماکزیمم و مینیمم توابع بر ماکزیمم و مینیمم توابع پیوسته است قضیه اکسترمم را مورد استفاده قرار می دهیم.
هیچ ماکزیمم و مینیمم توابع وجود ندارد که به ازای آن ماکزیمم و مینیمم توابع . با این وجود چون ماکزیمم و مینیمم توابع در 2 وجود ندارد, نتیجه میگیریم که 2 یک عدد بحرانی ماکزیمم و مینیمم توابع است. پس اکسترمم های مطلق یا به ازای 2 , یا به ازای یکی از نقاط انتهایی بازه به دست می آید. مقادیر تابع به ازای اعداد فوق در جدول زیر آمده اند. با توجه به جدول, نتیجه میگیریم که مقدار مینیمم ماکزیمم و مینیمم توابع روی ماکزیمم و مینیمم توابع برابر صفر است که به ازای 5 به دست می آید و مقدار ماکسیمم مطلق ماکزیمم و مینیمم توابع رو ماکزیمم و مینیمم توابع برابر ماکزیمم و مینیمم توابع است که به ازای 5 به دست می آید نمودار تابع بر ماکزیمم و مینیمم توابع در شکل زیر رسم شده است.
ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع
ماکزیمم و مینیمم توابع



تاریخ ایجاد 1397/09/26



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است