به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> مشتق >> مشتق توابع ضمنی

مشتق توابع ضمنی


درسنامه

اگر مشتق توابع ضمنی , آنگاه معادله
(1) مشتق توابع ضمنی
تابع مشتق توابع ضمنی را به طور صریح تعریف میکند. ولی هر تابعی را نمی توان به طور صریح تعریف کرد. به عنوان مثال, در معادله
(2) مشتق توابع ضمنی
نمی توانیم مشتق توابع ضمنی را بر حسب مشتق توابع ضمنی به دست آوریم, با وجود این ممکن است یک یا چند تابع مشتق توابع ضمنی به صورت مشتق توابع ضمنی وجود داشته باشند که در معادله (2) صدق کنند. یعنی معادله مشتق توابع ضمنی برای تمام مقادیر مشتق توابع ضمنی واقع در قلمرو مشتق توابع ضمنی برقرار باشد. در این حالت, معادله (2) تابع را به طور ضمنی تعریف میکند.
با فرض اینکه معادله (2), مشتق توابع ضمنی را به عنوان حداقل یک تابع مشتق پذیر از مشتق توابع ضمنی تعریف می کند, میتوانیم مشتق مشتق توابع ضمنی نسبت به مشتق توابع ضمنی را با فرایندی موسوم به مشتق گیری ضمنی پیدا کنیم, که اکنون این کار را میکنیم. طرف چپ معادله (2) تابعی از مشتق توابع ضمنی و طرف راست آن تابعی از مشتق توابع ضمنی است. فرض کنید مشتق توابع ضمنی تابعی باشدکه به وسیله طرف چپ معادله (2) تعریف میشود. و مشتق توابع ضمنی تابعی باشد که به وسیله طرف راست آن تعریف می شود. بدین ترتیب داریم
(3) مشتق توابع ضمنی
که در آن مشتق توابع ضمنی تابعی از مشتق توابع ضمنی , مثلا به صورت مشتق توابع ضمنی است بنابراین, معادله (2) را به صورت زیر میتوان نوشت.
(5) مشتق توابع ضمنی
معادله (5) به ازای تمام مقادیر مشتق توابع ضمنی واقع در قلمرو مشتق توابع ضمنی که برای آنها وجود داشته باشد, برقرار است. در اینصورت برای تمام مقادیر مشتق توابع ضمنی که به ازای آنها تابع مشتق توابع ضمنی که برای آنها مشتق توابع ضمنی
(6) مشتق توابع ضمنی
مشتق طرف چپ معادله (6) را به آسانی میتوان پیدا کرد.
(7) مشتق توابع ضمنی
با استفاده از قاعده زنجیری, مشتق طرف راست معادله (6) را پیدا میکنیم
(8) مشتق توابع ضمنی
اگر مقادیر مربوطه را از (7) و (8) در معادله (6) قرار دهیم, داریم
مشتق توابع ضمنی
مشتق توابع ضمنی
معادله (2) نوع ویژه ای از معادله شامل مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی است زیرا میتوان آن را طوری نوشت که تمام جملات شامل مشتق توابع ضمنی در طرف چپ و تمام جملات شامل مشتق توابع ضمنی در طرف راست معادله قرار داشته باشند. در نمونه زیر, روش مشتق گیری ضمنی را برای محاسبه مشتق توابع ضمنی از یک نوع معادله کلی تر به کار می بریم.
نمونه 1: معادله زیر را درنظر بگیرید.
(9) مشتق توابع ضمنی
و فرض کنید حداقل یک تابع مشتق پذیر مشتق توابع ضمنی به صورت مشتق توابع ضمنی وجود دارد که در معادله (9) صدق میکند. اگر از دو طرف معادله (9) مشتق بگیریم (و به خاطر داشته باشیم که مشتق توابع ضمنی تابع مشتق پذیری از مشتق توابع ضمنی است) با استفاده از قضایای مربوط به مشتق حاصلضرب, مشتق تابع توانی و قاعده زنجیره ای به دست می آوریم
مشتق توابع ضمنی
مشتق توابع ضمنی
مشتق توابع ضمنی
این را به خاطر داشته باشیم که فرض کرده بودیم, هر دو معادله (2) و (9), مشتق توابع ضمنی را به صورت حداقل یک تابع مشتق پذیر از مشتق توابع ضمنی تعریف میکنند. ممکن است یک معادله شامل مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی, وجود هیچ تابع حقیقی را ایجاب نکند, همانطور که معادله زیرایجاب نمی کند.
مشتق توابع ضمنی
معادله فوق به ازای هیچ مقدار حقیقی از مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی برقرار نیست. بعلاوه ممکن است در معادله ای از مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی توابع مختلفی صدق کنند که بعضی از آنها مشتق پذیر باشند و بعضی نباشند. بحث کلی در این مورد خارج از توان ولی در کتابهای حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته دیده می شود. در بحث های بعدی, وقتی می گوییم که یک معادله از مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی , مشتق توابع ضمنی را به طور ضمنی به عنوان تابعی از مشتق توابع ضمنی تعریف میکند, فرض بر این است که یک یا چند تا از این توابع مشتق پذیرند. مثال زیر که به دنبال می آید, این واقعیت را نشان می دهد که مشتق گیری ضمنی, مشتق دو تابع مشتق پذیر را که به وسیله معادله مفروض تعریف شده اند, به دست میدهد.
مثال1: معادله ای به صورت مشتق توابع ضمنی داده شده است
الف) مشتق توابع ضمنی را به وسیله مشتق گیری ضمنی پیدا کنید
ب) دو تابع پیدا کنید که به وسیله معادله فوق تعریف شوند
پ) از راه مشتق گیری صریح, مشتق توابع یافته شده در قسمت (ب) رابیابید.
ت) تحقیق کنید که تابع قسمت (الف) و قسمت (ب) با هم مطابقت دارند.
حل:
(الف) از مشتق گیری ضمنی به دست می اوریم
مشتق توابع ضمنی و بنا براین مشتق توابع ضمنی
(ب) معادله داده شده را نسبت به مشتق توابع ضمنی حل میکنیم و به دست می آوریم
مشتق توابع ضمنی
فرض کنید مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی به صورت زیر تعریف شوند
مشتق توابع ضمنی و مشتق توابع ضمنی
(پ) چون مشتق توابع ضمنی , با استفاده از قاعده زنجیره ای داریم
مشتق توابع ضمنی
به طریق مشابه
مشتق توابع ضمنی
(ت) برای مشتق توابع ضمنی که به صورت مشتق توابع ضمنی تعریف شده است, از قسمت (پ) داریم
مشتق توابع ضمنی
که با جواب قسمت (الف) مطابقت دارد.
برای مشتق توابع ضمنی که به صورت مشتق توابع ضمنی تعریف میشود, از قسمت (ب) داریم
مشتق توابع ضمنی
که باز هم با نتیجه قسمت (الف) مطابقت دارد.



تاریخ ایجاد 1397/09/18



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است