به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> مشتق >> خط مماس

خط مماس


درسنامه

بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال, به مساله پیدا کردن خط مماس وارد بر منحنی در یک نقطه معین روی منحنی مربوط می شوند. در هندسه مسطحه اگر منحنی دایره باشد, خط مماس در یک نقطه P روی دایره, به عنوان خطی تعریف میشود که دایره را فقط در یک نقطه قطع میکند. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنی ها صادق نیست. به عنوان مثال در شکل زیر خطی که میخواهیم در نقطه P بر منحنی مماس باشد, منحنی را در نقطه دیگری مانند Q قطع خواهد کرد.
نمودارخط مماس
در این بخش, تعریف مناسبی از خط مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای روی نمودار ارائه میدهیم. برای این کار, ضریب زاویه خط مماس در یک نقطه را تعریف میکنیم, زیرا اگر ضریب زاویه یک خط و نقطه ای روی آن معلوم باشد, آن خط معین میشود. تصور کنید تابع f در ایکس اندیس یک پیوسته است. میخواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار f در نقطه نقطه پی به مختصات ایکس یک و اف ایکس یک را به دست آوریم. فرض کنید I بازه بازی باشد که شامل ایکس اندیس یک است و F بر این بازه تعریف شده است. نقطه دیگر نقظه کیو به مختصات ایکس دو و اف ایکس دو را روی نمودار f در نظر می گیریم به طوری که ایکس دو نیز در I باشند خطی را که از P و q می گذرد رسم میکنیم. هرخطی که از دو نقطه یک منحنی بگذرد, خط قاطع نامیده می شود, پس خط گذرنده از p و Q یک خط قاطع است. در شکل زیر خط قاطع به ازای مقادیر مختلف ایکس دو رسم شده است. در شکل دیگر یک خط قاطع خاص نشان داده شده است. در این شکل Q در طرف راست P قرار دارد. معهذا, Q می تواند در طرف چپ P نیز باشد, همچنانکه در شکل زیر دیده میشود.
نمودار
نمودار
تفاضل طولهای نقاط P و Q را با دلتا ایکس نشان میدهیم. بنابراین دلتای ایکس ممکن است مثبت یا منفی باشد. پس ضریب زاویه خط قاطع PQ به شرطی که pQ قائم نباشد, از رابطه زیر به دست میآید.
معادله خط مماس
چون تغیرات ایکس معادله فوق را میتوانیم به صورت زیربنویسیم
Q
حال فرض کنید نقطه ثابت P باشد, و نقطه Q در طول منحنی به طرف P حرکت دهیم, یعنی Q به سمت P میل کند. این عمل معادل است با اینکه دلتا ایکس را به سمت صفر میل بدهیم. ضمن انجام این عمل, خط قاطع حول نقطه ثابت P گردش میکند. اگر این خط قاطع دارای یک وضعیت حدی باشد, همین وضعیت حدی است که ما میخواهیم خط مماس بر نمودار در نقطه P باشد. از اینرو میخواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار P در برابر با حد MPQ باشد وقتی که دلتا ایکس به سمت صفر میل میکند, البته چنانچه این حد وجود داشته باشد. اگر معادله حدی یا معادله حدی , آنگاه دلتا ایکس به صفر میل میکند و خط PQ به سمت خطی که از P میگذرد و موازی محور y هاست میل میکند. در این حالت میخواهیم خط مماس بر منحنی در P همان خط x=x1 باشد از بحث فوق به نتیجه زیر میرسیم.
تعریف 1 : فرض کنید تابع f در x1 پیوسته باشد. خط مماس بر نمودار ب در نقطه نقطه پی به مختصات ایکس یک و اف ایکس یک عبارت است از (i) خطی که از P میگذرد و دارای ضریب زاویه function است که از رابطه زیر بدست می آید
(i) function
به شرطی که این حد وجود داشته باشد.
(ii) خط function اگر
f
اگر هیچکدام از حالات (i) و (ii) تعریف برقرار نباشد, آنگاه خط مماس برنمودار در نقطه نقطه پی به مختصات ایکس یک و اف ایکس یک وجود ندارد.
مثال 1: سهمی تابع درجه دو مفروض است. در هریک از قسمتهای (الف) تا (پ) ضریب زاویه خط قاطعی را که از دو نقطه داده شده میگذرد, بیابید.
الف) مختصات
ب) مختصات
پ) مختصات
ت) ضریب زاویه خط مماس بر سهمی را در نقطه مختصات را بدست آورید.
حل: حل فرض کنید مختصات , مختصات و مختصات , به ترتیب ضریب زاویه خطوط قاطع در قسمتهای (الف), (ب) و(پ) باشند.
الف) مختصات
ب) مختصات
پ) مختصات
ت) مختصات با استفاده از 1 داریم:
معادله
تعریف 2 : خط قائم بر منحنی در نقطه ای مفروض, عبارت است از خط عمود بر خط مماس در ان نقطه
مثال: معادله آن خط قائم بر منحنی معادله درجه یک را که موازی خط معادله درجه یک باشد, را پیدا کنید.
حل: فرض کنید I خط مفروض باشد. برای یافتن ضریب زاویه I , معادله آن را به صورت ضریب زاویه – عرض از مبدا, مینویسیم معادله درجه یک پس ضریب زاویه برابر با -2 است و ضریب زاویه خط قائم مطلوب نیز -2 است زیرا دو خط با هم موازیند . برای یافتن ضریب زاویه خط مماس بر منحنی داده شده در نقطه x1 y1, تعریف را با ضابطه معادله درجه یک به کار میبریم .
معادله حدی
برای محاسبه حد فوق, صورت را گویا میکنیم
معادله حدی
معادله حدی
اگر صورت و مخرج را بر معادله حدی تقسیم کنیم (چون معادله حدی) , به دست می آوریم
معادله حدی
چون خط قائم در یک نقطه عمود بر خط مماس در آن نقطه است, حاصلضرب ضریب زاویه های آنها برابر -1 است. بنابر این , ضریب زاویه خط قائم در x1 y1 از رابطه زیر به دست می آید.
معادله حدی
همچنانکه در بالا نشان داده شد, ضریب زاویه خط مطلوب برابر با -2 است. بنابراین, معادله معادله حدی را حل میکنیم تا به دست بیاید معادله حدی پس , خط مطلوب از نقطه مختصات روی منحنی میگذرد و ضریب زاویه آن -2 است . معادله چنین خطی به صورت نقطه- ضریب زاویه ای عبارت است از معادله حدی و یا معادله حدی . به شکل زیر مراجعه کنید, که نمودار منحنی را همراه با خط, خط قائم در نقطه معادله حدی و خط مماس خط در نقطه مختصات نقطه را نشان میدهد.
نمودار



تاریخ ایجاد 1397/08/19



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است