به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> مشتق >> مشتق مراتب بالا

مشتق مراتب بالا


درسنامه

اگر مشتق مراتب بالا مشتق تابع مشتق مراتب بالا باشد, انگاه مشتق مراتب بالا نیز خود یک تابع است و مشتق اول نامیده می شود. اگر مشتق وجود داشته باشد, آن را مشتق دوم می نامیم و با علامت مشتق مراتب بالا نمایش میدهیم. ( که خوانده می شود اف زگوند ) به طور مشابه مشتق سوم مشتق مراتب بالا را به عنوان مشتق اول مشتق مراتب بالا در صورت وجود تعریف کرده و با علامت مشتق مراتب بالا نشان میدهیم ( و می خوانیم اف تیرس ).
اگر مشتق مراتب بالا یک عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1 باشد , مشتق مشتق مراتب بالا م تابع مشتق مراتب بالا رابه عنوان مشتق اول مشتق مراتب بالا م تابع تعریف میکنیم و آن را با علامت مشتق مراتب بالا نشان میدهیم. پس میتوانیم خود تابع مشتق مراتب بالا را با مشتق مراتب بالا نیز نمایش دهیم. علامت دیگری برای مشتق مشتق مراتب بالا ام به صورت مشتق مراتب بالا به وسیله مشتق مراتب بالا تعریف شده باشد مشتق مشتق مراتب بالا ام را با علامت مشتق مراتب بالا نیز میتوان نشان داد.
مثال 1: اگر تابع به صورت مشتق مراتب بالا تعریف شده باشد تمام مشتق های مشتق مراتب بالا را پیدا کنید.
حل:
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
چون مشتق مراتب بالا آهنگ تغیر مشتق مراتب بالا در یک واحد از تغییر مشتق مراتب بالا را به دست میدهد, مشتق مراتب بالا , که مشتق مشتق مراتب بالا است, آهنگ تغیر مشتق مراتب بالا در یک واحد از تغییر مشتق مراتب بالا را به دست میدهد. اگر مشتق مراتب بالا نقطه ای روی نمودار مشتق مراتب بالا باشد, آنگاه مشتق مراتب بالا ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در نقطه مشتق مراتب بالا می باشد. بنابراین مشتق مراتب بالا آهنگ تغییر ضریب زاویه خط مماس نسبت به x در نقطه مشتق مراتب بالا است.
مثال 2: فرض کنید مشتق مراتب بالا ضریب زاویه خط مماس بر منحنی مشتق مراتب بالا در نقطه مشتق مراتب بالا باشد. آهنگ لحظه ای تغییر مشتق مراتب بالا در یک واحد از تغییر مشتق مراتب بالا در نقطه مشتق مراتب بالا را پیداکنید.
حل:
مشتق مراتب بالا
اهنگ لحظه ای تغییر مشتق مراتب بالا در یک واحد از تغیر مشتق مراتب بالا برابر با مشتق مراتب بالا یا به عبارت دیگر مشتق مراتب بالا است.
مشتق مراتب بالا
در نقطه مشتق مراتب بالا, داریم مشتق مراتب بالا . بنابراین , در نقطه مشتق مراتب بالا تغییر مشتق مراتب بالا 8 برابر تغییر مشتق مراتب بالا است.
مشتق دوم یعنی مشتق مراتب بالا بر حسب واحد مشتق مراتب بالا در واحد مشتق مراتب بالا بیان میشود, که عبارت است از واحد مشتق مراتب بالا در واحد مشتق مراتب بالا در واحد مشتق مراتب بالا ( مربع واحد ) . مثلا در حرکت مستقیم الخط, اگر در لحظه مشتق مراتب بالا ( ثانیه ) فاصله از مبدا مشتق مراتب بالا سانتیمتر باشد, سرعت ذره در لحظه مشتق مراتب بالا , مشتق مراتب بالا سانتیمتر در ثانیه و آهنگ لحظه ای تغییر سرعت در مشتق مراتب بالا ( ثانیه ), مشتق مراتب بالا سانتیمتر بر مربع ثانیه می باشد. در فیزیک آهنگ لحظه ای تغییر سرعت را شتاب لحظه ای می نامند بنابراین اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله مشتق مراتب بالا در حال حرکت باشد و در لحظه مشتق مراتب بالا (ثانیه ) سرعت لحظه ای مشتق مراتب بالا سانتیمتر در ثانیه و شتاب مشتق مراتب بالا سانتیمتر بر مربع ثانیه باشد, آنگاه مشتق مراتب بالا برابر با مشتق مشتق مراتب بالا نسبت به مشتق مراتب بالا و یا مشتق دوم مشتق مراتب بالا نسبت به مشتق مراتب بالا خواهد بود. یعنی
مشتق مراتب بالا
وقتی که مشتق مراتب بالا افزایش می یابد و وقتی که مشتق مراتب بالا کاهش می یابد وقتی که مشتق مراتب بالا تغییر نمیکند. چون مقدار سرعت یک ذره در لحظه مشتق مراتب بالا (ثانیه) برابر مشتق مراتب بالا سانتیمتر بر ثانیه است , نتایج زیر را داریم.
1. اگر مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا ,مقدار سرعت در حال افزایش است
2. اگر مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا ,مقدار سرعت در حال کاهش است
3. اگر مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا ,مقدار سرعت در حال کاهش است
4. اگر مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا ,مقدار سرعت در حال افزایش است
مثال3: ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله حرکت زیر حرکت میکند.
مشتق مراتب بالا
که در آن مشتق مراتب بالا سانتیمتر, فاصله جهت دار ذره از مبدا در لحظه مشتق مراتب بالا ( ثانیه ) می باشد. اگر مشتق مراتب بالا سانتیمتر در ثانیه, سرعت لحظه ای و مشتق مراتب بالا سانتیمتر بر مربع ثانیه شتاب لحظه ای در لحظه مشتق مراتب بالا ( ثانیه ) باشد. مقادیر مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا و مشتق مراتب بالا را وقتی مشتق مراتب بالابه دست آورید.
حل:
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
چون تنها مقدار حقیقی مشتق مراتب بالا از ریشه سوم 8 به دست می آید, بنابراین مشتق مراتب بالا یا مشتق مراتب بالا
وقتی که مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
و مشتق مراتب بالا بنابراین, در ثانیه 1 شتاب صفر و این موقعی است که ذره از مبدا 2.5 سانتیمتر فاصله دارد و با سرعت 2 سانتیمتر در ثانیه به طرف راست درحرکت است.
کاربردهای دیگر مشتق دوم, موارد استفاده آن در پیدا کردن اکسترمم ( مینیمم یا ماکسیمم) نسبی توابع در رسم نمودار تابع است. کاربرد مهمی از مشتقهای مراتب بالاتر, استفاده از انها در بسط توابع به صورت سری نامتناهی است که در بخشهای بعدی خواهیم دید.
مثال 4: ثابت کنید
مشتق مراتب بالا
حل: برای اثبات رابطه فوق از استقرا ریاضی و فرمولهای زیر استفاده میکنیم
مشتق مراتب بالا
ابتدا نشان میدهیم که معادله فوق برای مشتق مراتب بالا درست است.
مشتق مراتب بالا
بنابراین به ازای مشتق مراتب بالا برقرار است. حال فرض میکنیم که معادله فوق به ازای مشتق مراتب بالا درست باشد. ثابت می کنیم که به ازای مشتق مراتب بالا نیز درست است. بنابراین فرض میکنیم که
مشتق مراتب بالا
باید ثابت کنیم
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا
میتوان نوشت.
مشتق مراتب بالا
مشتق مراتب بالا

مشتق مراتب بالا



تاریخ ایجاد 1397/09/26



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است