جوابها بصورت سري معادلات خطي مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل / جوابها بصورت سري معادلات خطي مرتبه دوم

درسنامه
تمرین

يك سري تواني ازx بصورت زیر مي باشد.

تعريف معادله خطي همگن مرتبه دوم به صورت را در نظر بگيريد. نقطه x0 را نقطه عادي مي گوييم اگر هردو تابع p و q در x0 تحليلي باشد ( سري در x0 همگرا باشد ). اگر حداقل يكي از p و q ها تحليلي نباشد انگاه x0 را نقطه تكين مي ناميم. به عبارت ديگر اگر درحالتي كه p و q كسري هستند در نقطه اي كه مخرج كسر صفر نشود تحليلي هستند و نقاطي كه مخرج صفر مي شود تكين هستند.
مثال : جواب معادله ديفرانسيل را در مجاورت نقطه x0 به صورت سري تواني بنويسيد.
حل : در اين مسئله p(x)=x و q(x)=1 بنابر اين جواب معادله بصورت زیر خواهد بود.

در نتيجه اگر معادلات

را در معادله ديفرانسيل اصلی قرار مي دهيم خواهيم داشت .

از اين جا نتيجه ميشود كه همه ضرايب سري بايد صفر باشد يعني

مثال : معادله ديفرانسيل را حل كنيد و x را طوري به دست آوريد كه در روابط زیر صدق کند.

پاسخ

يا

از اين جا نتيجه مي شود:

مثال :معادله ديفرانسيل زير را در مجاورت x0 = 1 حل كنيد .

حل : جواب بصورت يك سري تواني از x-1 مي باشد .يعني

در نتيجه

و براي k>=2 داريم :

تعريف : نقطه x0 را يك نقطه تكين منظم معادله مي ناميم هرگاه x0 يك نقطه تكين معادله بوده و تابع در x0 تحليلي باشد. اگر حد اقل يكي از دو تابع در x0 تحليلي نباشد آنگاه x0 را يك نقطه تكين نامنظم ناميده مي شود .

حل يك دستگاه معادله ديفرانسيل :
قبلا با دستگاههای معادلات دیفرانسیل اشنا شده اید حال به حل چند مثال از این نوع خواهیم پرداخت
مثال :دستگاه زیر را حل كنيد :