به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> مشتق >> مشتق پذیری و پیوستگی

مشتق پذیری و پیوستگی


درسنامه

تابع مثال 1 از بخش قبل, در صفر پیوسته است ولی در آنجا مشتق پذیر نیست. نمودار این تابع در مبدا, بر محور y مماس است. در نمونه زیر, تابعی داریم که در صفر پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست و بر نمودارش در مبدا, خطی مماس نمی شود.
نمونه1: فرض کنید تابع اف تابع قدر مطلق باشد. بنابراین تابع اف ایکس برابر با قدر مطلق ایکس نمودار این تابع در مثال بخش به دست آمد. در اینجا این نمودار در شکل زیر نشان داده می شود. با توجه به فرمول 3 از بخش قبل
تابع
شرطی که این حد موجود باشد. چون
تابع
تابع
اگر دلتای ایکس داریم دلتای ایکس برابر با قدر مطلق ایکس و اگر دلتای ایکس داریم دلتای ایکس پس باید حدهای یک طرفه در صفر را درنظر بگیریم
حدهای یک طرفه
حدهای یک طرفه
چون
حدهای یک طرفه
, نتیجه می شود که حد دو طرفه حدهای دو طرفه وجود ندارد. بنابراین مشتق اف ایکس در نقطه صفر وجود ندارد و لذا f در صفر مشتق پذیر نیست. چون مشتق اف ایکس در نقطه صفر وجود ندارد و نه مثبت بینهایت است و نه منفی بینهایت هیچ خطی بر نمودار تابع قدر مطلق در مبدا مماس نمی شود.
چون توابع مذکور در نمونه فوق, در یک عدد پیوسته اند اما در ان عدد مشتق پذیر نیستند, میتوان نتیجه گرفت که پیوستگی یک تابع در یک عدد, مشتق پذیری قطعا مستلزم پیوستگی است.
قضیه 1 : اگر تابع تابع اف در ایکس یک مشتق پذیر باشد, انگاه تابع اف در ایکس یک پیوسته است. تابعی چون تابع اف میتواند به یکی از دلایل زیر در عددی مانند تابع سی مشتق پذیر نباشد.
1 - تابع تابع اف در تابع سی پیوسته نباشد. این موضوع از قضیه نتیجه می شود. برای دیدن نمودار چنین تابعی, به شکل زیر مراجعه کنید.
ایکس برابر با سی
2 - تابع تابع اف در تابع سی پیوسته باشد و خط قائم بر نمودار تابع اف در نقطه به طول ایکس برابر با سی مماس شود. برای دیدن نمودار تابعی که چنین خاصیتی داشته باشد به شکل فوق مراجعه شود.
ایکس برابر با سی
3 - تابع تابع اف در تابع سی پیوسته باشد, و نمودار تابع تابع اف در نقطه به طول ایکس برابر با سی خط مماس نداشته باشد. در شکل زیر نمودار تابعی آمده است که در این شرط صدق می کند. ملاحظه می کنید که نمودار در ایکس برابر با سی گوشه ای دارد. در نمونه 1, مثال دیگری از این گونه توابع امده است.
قبل از ارائه مثال دیگری از تابعی که در یک عدد پیوسته است ولی در آن عدد مشتق پذیر نیست, مفهوم مشتق یک طرفه را تعریف میکنیم.
تعریف 1 : اگر تابع تابع اف در ایکس یک تعریف شده باشد, انگاه مشتق راست تابع اف در ایکس یک با تابع اف نشان داده می شود و به صورت زیر تعریف می گردد
(4) تابع اف
و به عبارت دیگر
(5) تابع اف
به شرطی که این حد وجود داشته باشد.
تعریف 2: اگر تابع تابع اف در ایکس یک تعریف شده باشد, انگاه مشتق چپ ایکس یک در ایکس یک با تابع اف نمایانده میشود و به صورت زیر تعریف می شود.
(6) تابع اف
و به عبارت دیگر
(7) تابع اف به شرطی که این حد وجود داشته باشد.
مثال 3 : فرض کنید تابع اف به صورت زیر تعریف شده است
تابع اف
الف ) نمودار تابع ایکس یک رسم کنید.
ب) ثابت کنید که ایکس یک در 1 پیوسته است.
پ) آیا ایکس یک در 1 مشتق پذیر است؟
حل: بنا به تعریف قدر مطلق اگر نامساوی یا نامساوی آنگاه نامساوی و اگر تابع اف پس ایکس یک را می توان به صورت زیر تعریف کرد
تابع اف
الف) نمودار تابع ایکس یک در شکل زیر رسم شده است
تابع اف
ب) برای اثبات اینکه در 1 پیوسته است سه شرط پیوستگی را بررسی میکنیم
1. تابع اف
2. تابع اف
تابع اف
تابع اف
3. تابع اف
چون شرطهای 1 تا 3 همگی در یک برقرارند, پس ایکس یک در 1 پیوسته است.
پ) تابع اف
تابع اف
چون تابع اف , پس تابع اف وجود ندارد و بنابراین , ایکس یک در 1 مشتق پذیر نیست با استفاده از روشی مشابه, میتوان نشان داد که تابع مثال 2 در تابع اف نیز مشتق پذیر نیست.
مثال: اگر تابع اف باشد. ثابت کنید تابع تابع اف از سمت راست در صفر پیوسته است و تابع اف وجود دارد.
حل: چون تابع اف و تابع اف بنابراین تابع از سمت راست و از طرفی
تابع اف
پس تابع اف موجود و برابر صفر است.



تاریخ ایجاد 1397/09/14



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است