به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

صفحه اصلی تماس با ما درباره ما نقشه سایت

>> ریاضی عمومی >> پیوستگی روی یک بازه

پیوستگی روی یک بازه


درسنامه

در مثال قبل نشان دادیم که تابع Equation با ضابطه Equation به ازای هر عدد واقع در بازه باز Equation پیوسته است. به دلیل این واقعیت گوییم که تابع Equation روی بازه باز Equation پیوسته است. تعریف کلی پیوستگی روی یک بازه به صورت زیر است
تعریف1 : گفته میشود که تابعی روی یک بازه باز پیوسته است اگر و تنها اگر آن تابع به ازای هرعدد واقع در آن بازه باز پیوسته باشد.
مثال1 : تابع Equation روی کدام بازه باز پیوسته است؟
حل: تابع Equation به ازای هر عدد بجز 3 پیوسته است. پس بنا به تعریف Equation روی هر بازه بازی که شامل عدد 3 نباشد پیوسته است. دوباره به تابع Equation با ضابطه Equation مراجعه میکنیم می دانیم که Equation روی بازه باز Equation پیوسته است . ولی چون Equation روی هیچ بازه بازی که شامل Equation یا 4 باشد تعریف نشده است در مورد Equation یا Equation نمی توان چیزی گفت از اینرو برای بحث در مساله پیوستگی Equation روی بازه بسته Equation باید مفهوم پیوستگی را گسترش دهیم تا پیوستگی در انتهای یک بازه بسته را در بر گیرد. برای این کار ابتدا پیوستگی از طرف چپ را تعریف می کنیم.
تعریف2 : گفته میشود که تابع Equation از طرف راست در عدد Equation پیوسته است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشد.
1 - مقدار Equation وجود داشته باشد.
2 – حد Equation جود داشته باشد.
3 – Equation
تعریف3 : گفته می شود که تابع Equation از طرف چپ در Equation عدد پیوسته است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشد.
1 - مقدار Equation وجود داشته باشد.
2 – حد Equationوجود داشته باشد.
3 – Equation
تعریف 4 : چنانچه قلمرو تابعی شامل بازه بسته Equation باشد. که آن تابع روی Equation پیوسته است, اگر و تنها اگر روی بازه باز Equation پیوسته باشد و همچنین از طرف راست در Equation و از طرف چپ در Equation پیوسته باشد.
مثال 2 : اگر داشته باشیم Equation در مورد پیوستگی تابع Equation بحث کنید.
حل: شکل زیر نمودار را نشان میدهد.
Equation
فرض کنید عددی در بازه Equation باشد. در اینصورت Equation , و در نتیجه Equation . از اینرو اگر Equation بنابراین Equation روی بازه Equation پیوسته است.
Equation
بنابراین Equation از طرف راست در 1 پیوسته است اما داریم
Equation
و چون Equation , پس از طرف چپ در 2 پیوسته نیست. بنابراین , تابع Equation روزی بازه نیمه باز Equation از طرف راست پیوسته است.
به طور مشابه دیده میشود که Equation در هر عدد Equation که Equation پیوسته است . در 2 , Equation از طرف راست پیوسته است زیرا Equation, ولی از طرف چپ در 3 پیوسته نیست زیرا Equation و Equation . از اینرو Equation روی بازه Equation نیز پیوسته است. اکنون قضیه مهمی را در بازه تابعی که روی یک بازه بسته پیوسته است , مورد بحث قرار میدهیم. این قضیه مقدار میانی نامیده می شود و در بخشهای بعدی مورد نیاز است.
قضیه مقدار میانی: اگر تابع Equation روی بازه بسته Equation پیوسته باشد و اگر Equation , آنگاه به ازای هر عدد بین Equation و Equation , عددی مانند Equation بین Equation و Equation وجود دارد به طوری که Equation.
در شکل زیر Equation نقطه ای دلخواه روی محور Equation ها بین نقاط Equation و Equation است. قضیه میگوید که خط Equation باید منحنی به معادله Equation را در نقطه Equation قطع کند, که بین Equation و Equation واقع است. شکل زیر این تقاطع را نشان میدهد.
Equation
دقت کنید که ممکن است به ازای بعضی از مقادیر Equation بیش از یک مقدار Equation وجود داشته باشد. قضیه میگوید که همیشه, حداقل یک مقدار برای Equation وجود دارد ولی این مقدار, لزوما یکتا نیست. شکل زیر, سه مقدار ممکن Equation به ازای یک مقدار خاص Equation را نشان می دهد.
Equation
قضیه میگوید که اگر تابع Equation روی یک بازه بسته Equation پیوسته باشد, آنگاه وقتی Equation همه مقادیر بین Equation و Equation را اختیار میکند, هرمقدار بین Equation و Equation را به خود میگیرد. در نمونه زیر, اهمیت پیوستگی Equation روی Equation نشان داده میشود.
مثال 3 : فرض کنید تابع Equation به صورت زیر تعریف شده باشد:
Equation
نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.
Equation
تابع Equation در 4, که در بازه بسته Equation قرار دارد, ناپیوسته است, Equation و Equation . اگر عدد دلخواهی بین Equation و 2 باشد , هیچ مقداری از Equation بین 2 و 5 وجود ندارد که Equation . بخصوص , اگر Equation , آنگاه Equation , ولی 6 در بازه Equationقرار ندارند.
مثال 4: اگر
Equation
نمودار تابع را رسم کنید. تابع Equation در چه مقادیری از Equation ناپیوسته است.
حل: Equation و اگر Equation باشد Equation فرد است.
Equation
Equation
اگر Equation باشد Equation فرد می باشد لذا
Equation
اگر Equation باشد Equation که فرد می باشد پس
Equation
Equation
اگر Equation باشد Equation و فرد می باشد و داریم
Equation
شکل تابع به صورت زیر است
Equation



1397/07/13 تاریخ ویرایش



advertise
advertise
advertise
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
رتبه سالانه
رتبه در سایت الکسا
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است