به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

حد چپ و راست

حد چپ و راست


در تعريف img
img هائي را درنظر ميگيريم كه در يك بازه شامل img و نه img خود   باشند ، يعني مقادير img نزديك به img را   چه بزرگتر و يا كوچكتر img از باشند . حال فرض كنيد تابعي چون img داريم كه img   چون براي img مقدار img وجود ندارد . بنابراين img در هيچ بازه باز شامل 4    معين نيست . لذا  
img بي معني است . با وجود ا ين ، اگر img را به مقادير بزرگتر از 4 محدود كنيم ، مي توانيم مقدار img   را به اندازه دلخواه به نزديك كنيم ، با شرط اينكه img ها را بزرگتر از 4   ولي به اندازه كافي نزديك به 4 بگيريم . درچنين حالتي img ها را از سمت راست به 4 ميل ميدهيم و حد يكطرفه از راست يا حد راست را طبق تعريف زير داريم :
تعريف 4 – 1 : فرض كنيد تابع img براي هر عدد در بازه بازي چون img تعريف شده باشد. حد img وقتي img از سمت راست به img ميل ميكند برابربا img است و نوشته مي شود :
img
هرگاه براي هر img هرقدر كوچك ، يك img وجود داشته باشد كه (1) img توجه كنيد كه در عبارت (1) چون img در دو طرف img علامت قدر مطلق وجود ندارد. از تعريف نتيجه ميشود كه
img
وقتي حد يك تابع را درنظر ميگيريم ، اگر متغير مستقل img را به مقادير كوچكتر از عدي مانند img محدود كنيم   ، ميگوئيم img از سمت چپ به img ميل   ميكند و در اينصورت حد را حد يكطرفه از چپ ميناميم. تعريف 4 – 2 : فرض كنيد تابع img براي هر عدد در بازه بازي چون img تعريف شده باشد. حد img وقتي img از سمت چپ به img ميل ميكند برابربا img است و نوشته مي شود :
img
هرگاه براي هر img هرقدر كوچك ، يك img وجود داشته باشد كه img جهت تميز دادن img از حد هاي يكطرفه مي توانيم
img
را حد دوطرفه يا حد بدون جهت بناميم . اگر در قضاياي حدي بجاي img ، img يا img   گذاشته شود در درستي آنها تغيري حاصل نميشود . مثال : فرض كنيد تابع img با ضابطه زير تعريف شده باشد .
img
(الف ) نمودار را رسم كنيد .
(ب) حد چپ را درصورت وجود بيابيد .
(ج) حد راست را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار تابع   در شكل زير رسم شده است :

img
img
در مثال فوق چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند ، حد دوطرفه img وجود ندارد اين قضيه را بهصورت زير بيان مي كنيم :
قضيه 11 : img وجود دارد و برابر با img است اگر و تنها اگر img و img هر دو موجود و برابر img باشند .
مثال 10 : فرض كنيد تابع img با ضابه زير تعريف شده باشد :
img
(الف) نمودار img را رسم كنيد.
(ب) img
را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار img در شكل زير رسم شده است :
img
img پس بنا به قضيه فوق img وجود دارد و برابر 0 است . توجه كنيد كه img ، و هيچ اثري روي img ندارد.
مثال 11 :حد تابع را در شرایط زیر محاسبه کنید:
img
1.img
2.img
3.img
حل : با استفاده از تعريف قدر مطلق داريم :
img

(لف ) img

(ب) img

(ج) چون حد هاي چپ و راست برابر نيستند   img پس وجود ندارد .
img

مثال 12 :حد تابع مقابل را محاسبه كنيد
img

(الف) img

(ب) img

(ج) img
حل :
( الف ) اگر img باشد ميدانيم img بنابراين img

(ب) اگر img باشد ميدانيم img بنابراين img

ج) چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند بنابراين img وجود ندارد

مثال 13 : اگر   img

( الف )   img

( ب) img

(ج ) img

حل : اگر img باشد داريم img و img و اگر img بنابراين   img و اگر img باشد . img ، img و img

(الف ) img

(ب) img

(ج) چون حد چپ و راست با هم برابر هستند img
img
تمرين : درتمرينهاي زير نمودار تابع را رسم كنيد حد هاي مشخص شده را درصورت وجود بيابيد . اگر حد وجود ندارد دليل آنرا ذكر كنيد :


1 - img


2 – img


3 – img


4 – img


5 – img


6 – img


7 – تابع img مفروض است مطلوب است مقدار img به طوري كه img وجود داشته باشد .


advertise
advertise
advertise
advertise