به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

جبر توابع

جبر توابع چیست

اگر img تابعي باشد كه قلمروش متغير باشد ، نماد img مقدار خاصي از img را كه متناظر با مقدار img است نمايش ميدهد .
نمونه 1 : داريم img بنابراين img چون براي img داريم img پس ميتوانيم بنويسيم img به طريق مشابه img و غيره ... .
وقتي يك تابع را تعريف ميكنيم ، بايد قلمرو آنرا بطور صريح و يا ضمني مشخص كنيم مثلا اگر تابع img بصورت زير تعريف شود img معلوم است كه img هر عدد حقيقي مي تواند باشد ولي اگر تابع img را بصورت زير تعريف كرده باشيم img ، آنگاه قلمرو تابع img بازه img است به طريق مشابه اگر تابع img به وسيله معادله زير تعريف شود :
img
معلوم است كه img اين خارج قسمت براي img معين نيست بنابراين قلمرو تابع img مجموعه تمام اعداد حقيقي بجز img است . اگر img معلوم است كه img بايد در بازه بسته img باشد زيرا img براي img معين نيست ( يعني ، يك عدد حقيقي نيست ) بنابراين دامنه و برد تابع img به قرار زير است :
img مثال – 1 : فرض كنيد img
مطلوب است :
img
حل:
img
مثال – 2 : فرض كنيد img
مطلوب است
img
بطوريكه
img
حل :
img
در دومين مرحله از اين راه حل ، صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب كرديم تا كسر را گويا كنيم كه با اين عمل ، عامل مشترك img در صورت و مخرج پديد آمد . اكنون چند عامل روي توابع تعريف ميكنيم . در اين تعريفها ، به وسيله جمع ، تفريق ، ضرب و تقسيم توابع جديدي از توابع مفروض پديد مي آيند كه به همين علت آنها را مجموع ، حاصلضرب ، خارج قسمت و تفاضل توابع مي ناميم .
تعريف 1-2 : توابع و داده شده اند :
الف – مجموع آنها را با علامت img نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم: img
ب - تفاضل آنها را با علامت img نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم: img
ج - حاصلضرب آنها را با علامت img نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم: img
د – خارج قسمت آنها را با علامت img نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم: img در هريك از موارد بالا قلمرو تابع حاصل ، متشكل از آن مقادير است كه در قلمرو توابع img مشترك هستند بجز در حالت (د) كه بايد مقاديري را كه مخرج را برابر صفر قرار مي دهد حذف كرد img .
مثال – 3 : فرض كنيد img مطلوب است :
(الف) . img
(ب) . img
(ج) . img
(د) . img
همچنين در هريك از موارد فوق ، قلمرو وبرد تابع حاصل را معين كنيد .
حل :
img
قلمرو img بازه img و قلمرو img بازه img است بنابراين در قسمتهاي (الف) ، (ب) و (ج) قلمرو توابع حاصل برابر img است در قسمت (د) مخرج به ازاي img برابر صفر است بنابراين بايد 4 را از قلمرو حذف كرد ، پس قلمرو img بازه img است . براي نشان دادن حاصلضرب ضرب img در خودش يعني img علامت img را بكار مي بريم مثلا اگر تابع بصورت img تعريف شده باشد ، انگاه تابع img به صورت زير است : img علاوه بر اعمالي كه بيان شد عمل ديگري بنام تركيب دو تابع مفروض نيز وجود دارد.
تعريف 2 – 2 : اگر توابع img داده شده باشند تابع مركب و با نماد img و با ضابطه زير تعريف مي شود img و قلمرو img عبارت است از مجموع تمام img هاي واقع در قلمرو img ، بشرطي كه img در قلمرو img باشد .
مثال 4 : فرض كنيد img تابع img را بيابيد وقلمرو آنرا بدست اورید img
حل:قلمرو img بازه img و قلمرو img بازه img است بنابراين قلمرو متشكل از مجموعه اي از اعداد حقيقي است كه به ازاي آنها img پس قلمرو img است .
مثال – 5 : فرض كنيد توابع img با ضابطه img تعريف شده باشند مطلوب است توابع مركب زير
(الف) . img
(ب) . img
(ج) . img
(د) . img
در هرمورد قلمرو تابع مركب را نيز بدست اوريد :
حل قلمرو img بازه img و قلمرو img بازه img است .
(الف) . img پس قلمرو img بازه img است .
(ب) . img پس قلمرو img بازه img است .
(ج) . img پس قلمرو img عبارت است از img و يا مجموع تمام اعداد حقيقي بجز بازه img .
(د) . img پس قلمرو img بازه img است . توجه كنيد با وجود آنكه img براي تمام مقادير img معين است ولي قلمرو img بنا به تعريف عبارت است از مجموعه همه img هاي از قلمرو img كه به ازاي انها img در قلمرو img است .
تعريف 3 – 2 :
(الف) . تابعي چون img را تابعي زوج گويند هر گاه به ازاي هر img در قلمرو img داشته باشيم img
(ب) . تابعي چون img را تابعي فرد گويند هر گاه به ازاي هر img در قلمرو img داشته باشيم img در هر دو مورد واضح است كه براي هر img در قلمرو img ، img نيز بايد در قلمرو img باشد .
نمونه 2 :
( الف) .: img
img
بنابراين img تابعي زوج است .
(ب) . img
img
بنابراين img تابعي فرد است .
(ج) .
img
img
بنابراين تابع img نه زوج است نه فرد .
از تعريف تابع زوج و قضيه فوق قسمت (الف) نتيجه مي شود كه نمودار تابع زوج ، نسبت به محور img متقارن است و از تعريف تابع فرد و قضيه فوق قسمت ( ب) نتيجه مي شود كه نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است . اگر برد تابع فقط شامل يك عدد باشد ، انرا تابع ثابت مي ناميم . بنابراين اگر img و img يك عدد حقيقي دلخواه باشد ، انگاه img يك تابع ثابت است و نمودار آن خطي است مستقيم به موازات محور img ها و به فاصله جهت دار img از محور img ها . اگر تابع img بصورت زير تعريف شود :
img
كه در آن img يك عدد طبيعي و img اعداد حقيقي باشند ، آنگاه img را يك تابع چند جمله اي از درجه img مي ناميم . تابع img كه بصورت زير تعريف شده باشد img يك تابع چند جمله اي از درجه 5 است . اگر درجه يك تابع چند جمله اي 1 باشد ، انرا يك تابع خطي مي نامند ، اگر درجه آن 2 باشد ، آنرا يك تابع درجه دوم ، و اگر از درجه 3 باشد آنرا يك تابع درجه سوم مي نامند . تابع خطي خاصي با تعريف img تابع هماني نام دارد .
نمونه – 4 : تابع img كه بصورت img تعريف شده باشد ، يك تابع خطي است . تابع img كه بصورت img تعريف شده باشد يك تابع درجه دوم است . تابع img كه بصورت img تعريف شده باشد يك تابع درجه سوم است . اگر تابعي بصورت خارج قسمت دو چند جمله اي قابل بيان باشد ، تابع گويا ناميده مي شود . تابع جبري تابعي است كه بوسيله تعداد متنابهي از اعمال جبري روي تابع همان و تابع ثابت به دست مي آيد . اين اعمال جبري شامل جمع ، تفريق ، ضرب ، تقسيم ، به توان رساندن و ريشه گرفتن هستند .
مثالي ازتوابع جبري img
مثال – 6 : فرض كنيد img باشد تابع img را بدون علامت قدر مطلق بنويسيد براي img كداميك از موارد زير بدست ميايد :
الف : 0
ب : img
ج : img
د : هيچكدام
حل : الف درست است چون img پس img بنابراين img
مثال 7 : اگر img و img دامنه تعريف img كدام است :
الف : img
ب: img
ج : img
د : هيچكدام
حل : ج درست است زيرا دامنه تابع img ، مجموعه تمام اعداد حقيقي بجز عدد يك و دامنه img مجموعه تمام اعداد حقيقي بجز عدد صفر مي باشد .
img
براي تعيين دامنه img با توجه به تعريف اولا بايد img باشد يعني نبايد صفر باشد . ثانيا بايد img يعني img بعبارت ديگر img باشد بنابراين img
مثال 8 : اگر
img
و img دامنه تعريف تابع img كداميك از موارد زير است :
الف : img
ب : img
ج : img
د : هيچكدام
حل :
img
چون دامنه تابع img مجموعه img است پس دامنه img مجموعه img يعني بايد img img
لذا دامنه توابع img عبارت است از img .
مثال 9 : اگر توابع img به صورت زير تعريف شده باشد فرمول img را پيدا كنيد :
img img
حل :
img
بنابراين خواهيم داشت :
img
مثال 10 : براي توابع تعريف شده در مثال قبل ، فرمول img و دامنه انرا تعيين كنيد .
حل :
(1) img
(2) img
يا
(3) img
با جايگذاري (2) و (3) در (1) داريم img
مثال 11 :براي هركدام از توابع زير معين كنيد زوج است يا فرد و يا هيچكدام
الف . img
ب . img
ج . img
د . img
ه .
img
حل :
الف )
img
بنابراين img زوج است
ب )
img
بنابراين فرد است
ج )
img
بنابراين زوج است
د ) فرد است
img
ه ) نه زوج است نه فرد
img
مثال 12 : تابعي را پيدا كيد كه هم زوج باشد هم فرد
حل: فرض كنيد img تابع مورد نظر باشد ، چون img زوج است داريم (1) img از طرفي فرد است ، پس (2) img با جايگذاري (2) در (1) داريم img
مثال 13 : اگر img و img دو تابع فرد باشند ثابت كنيد img و img توابعي زوج هستند
حل: img
بنابراين img زوج است و بهمين ترتيب
img
مثال 14 – در هريك از موارد زير ، درباره زوج يا فرد بودن تابع img بحث كنيد :
(الف) توابع img و img هردو زوج باشند .
(ب) توابع img و img هردو فرد باشند .
(ج) تابع img زوج و تابع img فرد باشد .
(د) تابع img فرد و تابع img زوج باشد .
حل :
(الف) img بنابراين img زوج است
ب) img بنابراين img فرد است . حل قسمتهاي ج و د مشابه است
تعريف 4 - 2 : تابع پله اي واحد بصورت زير تعريف مي شود
img
img
دامنه اين تابع مجموعه اعداد حقيقي و برد آن مجموعه img است .
تابع علامت كه بصورت img نمايش داده مي شود داراي تعريف زير است
img
img
دامنه اين تابع مجموعه اعداد حقيقي وبرد آن img است .
مثال 15 : اگر img باشد ، تابعي براي img پيدا كنيم بطوري كه داشته باشيم img
حل :
img
بنابراين
img
مثال 16 : ثابت كنيد كه اگر توابع img img توابعي خطي باشند تابع img يك تابع خطي است
حل : مي دانيم كه اگر تابعي چند جمله اي درجه يك باشد ، انرا تابعي خطي مي گويند پس فرض كنيد
img
حال نشان مي دهيم img يك تابع چند جمله اي درجه يك است
img
تمرين :
1 – اگر img مطلوب است
الف ) img
ب) img
ج) img
د ) img
ه ) img
و ) img
ز ) img
فرض كنيد تابع img بصورت زير تعريف شده باشد :
img
الف ) img
ب) img
ج) img
د ) img
ه ) img
3 - اگر img فرمول img را بدون علامت قدر مطلق بنويسيد بشرطي كه
الف ) img
ب ) img
ج ) img
4 – در تمرين زير براي توابع img و img توابع زير را تعريف كنيد و قلمرو انها را نيز بيابيد :
1.img
2.img
3.img
4.img
5.img
5 – در تمرينات زير تعيين كنيد كداميك از توابع زير زوج يا فرد مي باشد
1.img
2.img
3.img
4.img
5.img
6.img
7.img

advertise
advertise
advertise
advertise