به سایت اموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

معادلات ديفرانسيل خطي مرتبه دوم

اين معادلات به شكل كلي زير مي باشند:
img
اگر معادله ديفرانسيل همگن
img
اگر معادله ديفرانسيل ناهمگن
img
قضايا :
1- اگر
img
جوابهاي عمومي و خصوصي معادله ديفرانسيل باشند آنگاه
img
نيز يك جواب معادله ديفرانسيل مي باشد.
2-اگر
img
دوجواب معادله ديفرانسيل باشندانگاه
img
نيز يك جواب مي باشد.
وابسته خطي :اگر )پ(f(x و (g(x در فاصله [a,b] تعريف شده باشد و يكي از آنها مضربي ار ديگري باشد وابسته خطي مي باشند در غير اينصورت مستقل خطي مي باشد.
3-هرگاه
img
حل معادله ديفرانسيل
img
باشد آنگاه براي
img
خواهيم داشت :
img
كه دترمينان اين دستگاه رونسكي معادله ديفرانسيل ناميده مي شود يعني
كه با جا گذاري درمعادله ديفرانسيل خواهيم داشت :
img
اگر m=-p/2 آنگاه
img
حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم با ضرايب ثابت .
img
الف-
img
جواب ويژه را بصورت زیر در نظر مي گيريم:
img
مثال:معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد.
img
حل:
img
اگر معادله دفرانسيل برابر با يك تابع نمايي بود يعني
img
آنگاه جواب ويژه بصورت زیر خواهد بود
img
اگر ريشه هاي تكراري داشتيم از معادله زیر استفاده خواهيم كرد .
img
مثال : معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد .
img
حل : با جاگذري
img
در معادله ديفرانسيل خواهيم داشت .
img
در نتيجه چون بايد داشته باشیم
img
img
به همين نحو
img
اگر
img
در هر حالت اگر
img
معادله مشخصه نباشد جواب به صورت
img
اگر
img
ريشه باشد با مرتبه تكرار r آنگاه جواب بصورت زیر خواهد بود
img
مثال : معادله ديفرانسيل زير راحل كنيد .
img
حل : در اين مثال
img
و
img
ريشه معادله مشخصه نيست بنابر اين جواب بصورت
img
اگر
img
باشد آنگاه
img
اگر
img
a ريشه معادله مشخصه با مرتبه تكرار r باشد آنگاه جواب بصورت زيراستفاده مي كنيم .
img
مثال : معادله ديفزانسيل زیر را حل كنيد .
img
حل : داريم
img
اگر
img
جواب معادله ديفرانسيل و اگر
img
جواب معادله مشخص نباشد جواب بصورت
img
اگر
img
معادله مشخصه با مرتبه r باشد آنگاه
img
مثال :
img
جواب بصورت
img
مي باشد . بنابر اين
img
در نتيجه
img
مي باشد.
اگر
img
انگاه جواب بصورت
img
مي باشد.به شرط اينكه
img
ريشه معادله مشخصه نباشد اگر باشد آنگاه جواب بصورت
img
مي باشد.
مثال :معادله ديفرانسيل
img
با شرايط اوليه
img
راحل كنيد.
حل : داريم
img
با استفاده از شرايط اوليه داريم .
img
اگر حالت ها ي مختلفي از موارد فوق داشته باشيم نيز به همين نحو عمل مي كنيم.به مثال زير توجه كنيد :
مثال : معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد .
img
براحتي مي دانيم كه جواب ويژه
img
برابر است با
img

و جواب ويژه

img
برابر است با
img
تمرين: معادلات ديفرانسيل زير را حل كنيد .
img
img
img
img
img
img
img



advertise
advertise
advertise
advertise